Matushiq Sotak (creada por @biomatushiq)
http://twitpic.com/63lcfq

PD: Esta entrada participa en la edición 4.1231 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Matemáticas interactivas y manipulativas y en la edición XLII (mayo de 2013) del Carnaval de la Física cuyo blog anfitrión es High Ability Dimension

Paseo aleatorio en dimensión dos

¿Qué es un camino aleatorio? Consideremos un suceso con dos posibles resultados, por ejemplo el de lanzar una moneda al aire. Si la moneda no está trucada, la probabilidad de que caiga cara o cruz es la misma, de 1/2. Si estudiamos la sucesión de sucesos de este tipo –que son estadísticamente independientes– obtenemos un camino o paseo aleatorio, en este caso, de dimensión 1: daríamos un paso a la izquierda o a la derecha, dependiendo de que saliera cara o cruz.

Cinco lanzamientos de una moneda equilibrada

Si observamos a un borracho –humano– intentando llegar a su casa, podemos pensar que está caminando aleatoriamente por una ciudad cuyas calles forman un retículo. En cada cruce, el borracho decide –bueno, en realidad va dando traspiés, es el azar el que decide por él– una de las cuatro posibles direcciones que dan a esa encrucijada –por supuesto, puede elegir aquella dirección por la que ha venido–: todas ellas tienen la misma probabilidad de 1/4. Este sería un paseo aleatorio bidimensional. ¿Llegará el borracho desde el bar a su casa?

Si  imaginamos un pájaro volando aleatoriamente por un enrejado de tres dimensiones –el pájaro está borracho– en cada cruce de esos cubos de vértices con coordenadas enteras, el animal tiene seis posibles caminos equiprobables a seguir. ¿Llegaría un pájaro borracho hasta su nido?

Claramente, esta noción de paseo aleatorio se puede generalizar a retículos de cualquier dimensión.

Lema: Sea p(d) la probabilidad de que un paseo aleatorio sobre un retículo de dimensión d regrese a su punto de partida. Se verifica que:

p(1) = p(2) = 1 y p(d) < 1 si d > 2.

Dicho de otro modo, los paseos aleatorios en dimensiones 1 y 2 son recurrentes y en dimensiones mayores que 2 son transitorios.

Nota: Este lema fue demostrado por George Pólya en 1921. Además, Watson (1939), McCrea y Whipple (1940), Domb (1954), y Glasser y Zucker (1977) demostraron que:

p(3) = 0,34053732955099914282627318443…

Ya estamos en condiciones de probar el teorema.

Teorema: Los pájaros nunca beberán alcohol.

Demostración: El lema anterior prueba que un borracho humano acabará por encontrar su casa –con probabilidad 1–. Si existiera un borracho pájaro, sus  desplazamientos aleatorios viven en dimensión tres. La probabilidad de regresar al nido es baja –menor de 0,35–, con lo que se arriesga a vagar al azar sin encontrar su casa, y moriría… perdido. Esta dramática circunstancia les obliga necesariamente a no beber.   CQD

Visto –y adaptado– en:  Bruno Winckler, Recueil de blagues mathématiques et autres curiosités, Ellipses, 2011

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¿Qué es una pantalla de Möbius? Ideada por el artista Ruini Shi, es una banda de Möbius lo suficientemente grande como para poder ver una película sobre ella.  .

http://www.ruinishi.com/Artworks.asp?Id=231

¿Y qué la hace especial? ‘El cine’ que se ve sobre ella no finaliza nunca, es un ciclo continuo, sin principio ni fin bien determinados. Puedes ver una película ‘de Möbius’ este enlace.

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Quelques remarques sommaires relatives aux propriétés aérodynamiques de l’addition es un cuento escrito y publicado por Raymond Queneau en 1950. Se incluyó más adelante en Contes et propos (Gallimard, 1981).

Debajo se reproduce íntegramente mi traducción –espero que no demasiado mala– del divertido texto, que en castellano llevaría por título Algunas observaciones someras relativas a las propiedades aerodinámicas de la suma.

En todos los intentos realizados hasta nuestros días para demostrar que 2 + 2 = 4, nunca se ha tenido en cuenta la velocidad del viento.

La suma de números enteros no es, en efecto, posible más que con un tiempo bastante tranquilo para que, una vez puesto el primer 2, se quede en su sitio hasta que se pueda poner la pequeña cruz, después el segundo 2, y después el pequeño muro sobre el que sentarse para reflexionar, y por fin el resultado. El viento puede soplar después, dos y dos son cuatro.

Si el viento empieza a elevarse, he aquí el primer número caído. Si continúa, ocurre lo mismo con el segundo. ¿Cuál es entonces el valor de ? Las matemáticas actuales no están en medida de respondernos.

Si el viento sopla fuerte, entonces la primera cifra sale volando, después la crucecita, y así sucesivamente. Pero supongamos que disminuye tras la desaparición de la cruz, entonces podríamos estar abocados a escribir la absurdidad 2 = 4.

El viento no sólo lleva, también trae. La unidad, número particularmente ligero y que una simple brisa puede desplazar, puede caer en una suma donde no tiene nada que hacer, a espaldas incluso del calculador. Esta es la intuición que tuvo el matemático ruso Dostoievski cuando osó declarar que tenía una debilidad por 2 + 2 = 5.

Las reglas de la numeración decimal prueban del mismo modo que probablemente los hindús debieron formularse más o menos inconscientemente nuestro axioma. El cero rueda con facilidad, es sensible al mínimo soplido. Tampoco se le tiene en cuenta cuando está situado a la izquierda de un número: 02 = 2, ya que el cero se larga siempre antes del final de la operación. No es significativo más que a la derecha, pues entonces las cifras precedentes pueden también retenerlo e impedirle salir volando. También se tiene 20 ≠ 2, mientras el viento no supere algunos metros por segundo.

Deduciremos ahora algunas consecuencias prácticas de estas consideraciones; en cuanto se teme que haya perturbaciones atmosféricas, es bueno dar a la suma una forma aerodinámica. Está también aconsejado escribir de derecha a izquierda y comenzar lo más cerca posible del borde de la hoja de papel. Si el viento hace deslizar la operación en curso se puede, casi siempre, recogerla antes de que llegue al margen. Se obtendrá así, aún con una tormenta de equinoccio, resultados como éste:

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Cogió el libro de texto infantil y miró el retrato del Gran Hermano que llenaba la portada. Los ojos hipnóticos se clavaron en los suyos. Era como si una inmensa fuerza empezara a aplastarle a uno, algo que iba penetrando en el cráneo, golpeaba el cerebro por dentro, le aterrorizaba a uno y llegaba casi a persuadirle que era de noche cuando era de día. Al final, el Partido anunciaría que dos y dos son cinco y habría que creerlo. Era inevitable que llegara algún día al dos y dos son cinco. La lógica de su posición lo exigía. Su filosofía negaba no sólo la validez de la experiencia, sino que existiera la realidad externa. La mayor de las herejías era el sentido común. Y lo más terrible no era que le mataran a uno por pensar de otro modo, sino que pudieran tener razón. Porque, después de todo, ¿cómo sabemos que dos y dos son efectivamente cuatro? [...] La libertad es poder decir libremente que dos y dos son cuatro. Si se concede esto, todo lo demás vendrá por sus pasos contados.

Un poco antes, aparece esta referencia a una ecuación:

Día y noche las telepantallas le herían a uno el tímpano con estadísticas según las cuales todos tenían más alimento, más trajes, mejores casas, entretenimientos más divertidos, todos vivían más tiempo, trabajaban menos horas, eran más sanos, fuertes, felices, inteligentes y educados que los que habían vivido hacía cincuenta años. Ni una palabra de todo ello podía ser probada ni refutada. Por ejemplo, el Partido sostenía que el cuarenta por ciento de los proletarios adultos sabía leer y escribir y que antes de la Revolución todos ellos, menos un quince por ciento, eran analfabetos. También aseguraba el Partido que la mortalidad infantil era ya sólo del ciento sesenta por mil mientras que antes de la Revolución había sido del trescientos por mil… y así sucesivamente. Era como una ecuación con dos incógnitas.

Orwell habla de una ecuación con dos incógnitas, que  permitiría al Partido explicar los beneficios de la revolución. ¿Cuál es esa ecuación? Para todas las propiedades que mejoran, vamos a denotar por x e y los porcentajes antes y después de la revolución, respectivamente. Imaginemos que el Partido ha decidido respetar una ecuación definida por f(x)=y, donde f(x)=ax+b es una función afín. Entonces:

• la mejora de la tasa de alfabetización se expresaría por:

f(15/100) = 40/100,

• la tasa de superviviencia infantil -que es la que ha mejorado tras la revolución- quedaría:

84/100 = 1 – 16/100 = f(1 – 30/100) = f(70/100),

Tendríamos así un sistema de ecuaciones:

40/100 = 15/100 a + b

84/100 = 70/100 a + b.

Y resolviéndolo, se obtiene que a=4/5 y b=7/25, luego la ecuación de dos incógnitas de la que habla Orwell es

y= 4/5 x + 7/25.

Nota: El razonamiento de cuál debe ser la ecuación está extraído de [Marc Laura, Extraits Littéraires & Empreintes Mathématiques, Hermann, 2001]

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Al principio de la novela, el matemático comenta  al soldado:

Les aliénés, les nerveux, les insensés ont, plus que d’autres, affaire avec l’infini parce que les bornes, celles qui enserrent l’homme commun et l’empêchent de déborder au-delà de lui-même, comme le lait déborde d’une casserole… ces bornes ont cédé. Toujours. Et ça, c’est de l’infini.

Denis Guedj, Villa des hommes (2007)

Los enajenados, los nerviosos, los insensatos tienen, más que otros, relación con el infinito, porque los límites, los que encierran al hombre común y le impiden derramarse más allá de sí mismo, como la leche se derrama de una cazuela… estos límites han cedido. Siempre. Y eso, es el infinito.

http://forums.tigsource.com/index.php?topic=33260.msg885099#msg885099

He experimentado un poco…

¡Sigue los consejos del autor para crear imágenes realistas!

Visto en boingboing

I use this cutting board periodically
http://waveavenue.com/profiles/blogs/cleverly-playful-personalized-cutting-boards-by-elysium-woodworks

Entonces la química y la cocina, se fusionan… antes de empezar a guisar…

Bacon (Bario, Cobalto y Nitrógeno)
http://waveavenue.com/profiles/blogs/cleverly-playful-personalized-cutting-boards-by-elysium-woodworks

CHOP (Carbono, Hidrógeno, Oxígeno, Fósforo)
http://waveavenue.com/profiles/blogs/cleverly-playful-personalized-cutting-boards-by-elysium-woodworks

Cook (Carbono, Oxígeno, Oxígeno, Potasio)
http://waveavenue.com/profiles/blogs/cleverly-playful-personalized-cutting-boards-by-elysium-woodworks

Y un mensaje final de Marie Curie…

“Tenemos que tener perseverancia y, sobre todo, confianza en nosotros mismos.”, Marie Curie
http://waveavenue.com/profiles/blogs/cleverly-playful-personalized-cutting-boards-by-elysium-woodworks

Visto en Thinx

Origami (Melbourne)
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Os dejo una pequeña muestra ‘muy matemática’. No dejeis de mirar el resto de las fotografías en este enlace.

Diagonal Path (Munich)
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3′s Company (Hong Kong)
http://jrdlim.wix.com/jaredlimphotography

Convergence (Moscú)
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From Here to Infinity (San Franscisco)
http://jrdlim.wix.com/jaredlimphotography

Visto en El Safari