La multiplicación rusa

¿No recuerdas bien las tablas de multiplicar?

La técnica que vamos a describir –también llamada método de los campesinos rusos porque hasta hace poco era el método empleado por este colectivo– permite realizar el producto de dos números enteros, sabiendo únicamente multiplicar y dividir por 2.

Curiosamente, este método binario –teóricamente rudimentario– está más cerca de los procesos utilizados por los ordenadores que el sistema de multiplicaciones que nosotros conocemos.

Vamos a explicar el método multiplicando 89 por 37. Empezamos disponiendo los números en dos columnas, se divide el primero por 2 y se escribe el resultado debajo.

89		37
44

 

 

Si el número es impar –como en este caso–, el resto de la división es 1, pero vamos a olvidarlos, quedándonos únicamente con los cocientes. Continuamos con el mismo procedimiento, hasta que lleguemos a un 1:

89		37
44
22
11
5
2
1

Ahora consideramos el número de la segunda columna, y se realiza el proceso contrario: se multiplica por 2, hasta que se completan las casillas:

89		37
44		74
22		148
11		296
5		592
2		1184
1		2368

Ahora basta con sumar los números de la columna de la derecha que corresponden a números impares de la primera columna:

89		37		+ 37
44		74
22		148
11		296		+ 296
5		592		+ 592
2		1184
1		2368		+ 2368
				3293

Y 3293 es precisamente el resultado buscado: sólo sabiendo sumar y multiplicar y dividir por 2 –algo sencillo– hemos conseguido realizar el producto de 37 por 89.

¿Por qué funciona este sistema? Si descomponemos 89 en sumas de potencias de 2, tenemos:

89 = 2⁶ + 2⁴ + 2³ + 2⁰ = 64 + 16 + 8 + 1.

Y por la propiedad distributiva del producto respecto a la suma:

37 x 89 = 37 x (64 + 16 + 8 + 1) = 2368 + 592 + 296 + 37.

Los números 74, 148 y 1184 deben descartarse, porque corresponden al producto de 37 por 2 = 2¹, 4 = 2² y 32 = 2⁵, que son potencias  de 2 que no aparecen en la descomposición de 89.

Visto en: Paolo Gangemi, Salades mathématiques et autres gourmandises numériques, First Éditions, 2010.