Bandas de Möbius y triángulos

Cuando se define la banda de Möbius se suele construir tomando una tira larga rectangular de papel (mejor que sea larga para poder manipularla con soltura), se gira 180 grados uno de sus extremos cortos y se une con el otro por medio de cinta adhesiva.

Imagen tomada de http://www.mathcurve.com/

Éste es uno de los modelos de construcción de la banda. Pero hay otros muchos.

Por ejemplo, es posible obtener una banda de Möbius identificando dos de los lados de un triángulo como muestra la figura (las flechas indican el sentido de pegado):

Figura 1

Vamos a probarlo, y para ello vamos a usar un método muy utilizado en topología: hacer un corte para manipular el objeto, deshaciéndolo posteriormente para no cambiar el tipo topológico de la figura obtenida. Cortamos el triángulo de la figura 1 como se muestra debajo:

Figura 2

Como se ha dicho antes, este corte se ha realizado sólo para manipular el objeto, así que marcamos de nuevo con flechas las identificaciones que hay que realizar para continuar (salvo homeomorfismo) con el objeto representado en la figura 1:

Figura 3 

Movemos las piezas para pegar los dos lados representados con flechas azules:

Figura 4

Una vez colocadas de este modo, se pegan las piezas y se obtiene la figura 5 -topológicamente equivalente a la figura 1-, que ya se reconoce como una banda de Möbius.

Figura 5

Así, hemos demostrado que la figura 1 es (homeomorfa a) una banda de Möbius.

En la entrada Un ruban de Möbius à partir d’un triangle ? de Bruno Duchesne en el blog Images des mathématiques, el autor construye físicamente la prueba. Corta y pega de verdad… usa papel, tijeras y cinta adhesiva.  Seguramente ¡es más convincente!

Continuará (sobre la banda de Möbius)