¿Puede una rana hacerse tan grande como un buey? Banach y Tarski responden

El matemático polaco Stefan Banach (1892-1945) nació un 30 de marzo de hace 120 años. Es uno de los fundadores del análisis funcional e hizo otras importantes aportaciones a la teoría de conjuntos, la teoría de la medida y otras ramas de las matemáticas.

Aprovecho esta especial fecha para hablar sobre una conocida paradoja de la teoría de la medida y que es consecuencia del axioma de elección: es la paradoja de Banach-Tarski, que lleva también el nombre del matemático polaco Alfred Tarski (1902-1983).

¿En que consiste esta paradoja?  Banach y Tarski demuestran que: Es posible cortar una bola -por ejemplo, una naranja- en un número finito de trozos y reagruparlos, sin deformarlos, para obtener n bolas disjuntas del mismo radio, donde n es un entero mayor o igual a 2.

¿Troceando convenientemente una naranja y juntando las piezas se pueden obtener dos? ¡Pero si eso es imposible!

Es imposible realizarlo físicamente, pero es posible realizarlo de manera teórica. ¿Seguro? Si de una naranja salen dos, ¿no estamos duplicando el volumen? Y eso no es posible.

Allí está justamente la cuestión: las piezas en las que se recorta la bola son pocas -ocho- y con movimientos elementales se reconstruyen las dos bolas… pero los trozos intermedios son tan complicados que no tienen volumen. Hablando en términos de teoría de la medida, las piezas en que se recorta la bola son conjuntos no medibles, y por lo tanto, no hay contradicción.

¿Qué no te he convencido? Si quieres ver la prueba -es un poco larga, pero no es complicada- te dejo un montón de referencias, que van desde el artículo original de Banach y Tarski, hasta libros deliciosos. El resultado se obtiene al utilizar el axioma de elección

I. Libros sobre la Paradoja de Banach-Tarski

  1. Marc Guinot, Le Paradoxe de Banach-Tarski, Aléas, 2002
  2. Stan Wagon, The Banach-Tarski Paradox, Cambridge University Press, 1993
  3. Leonard M. Wapner, The Pea and the Sun. A mathematical paradox,  AK Peters, 2005

II. Artículos y otros formatos

  1. S. Banach et A. Tarski, Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, Fundam. Math 6, 244-277, 1924 [pdf]
  2. Francis th(E) mule Science’s News, La paradoja de Banach-Tarski y el axioma de elección
  3. Carlos Ivorra, La Paradoja de Banach-Tarski [pdf]
  4. Marta Macho Stadler, La Paradoja de Banach-Tarski : como construir el sol a partir de un guisante [pdf]
  5. Jonathan Muller, Le paradoxe de Banach-Tarski, Mémoire Université Louis Pasteur, 2007 [pdf]
  6. Terence Tao, The Banach-Tarski paradox [pdf]
  7. Volker Runde, The Banach-Tarski Paradox or What Mathematics and Miracles Have in Common, Pi in the Sky 2, 13-15, 2000 [pdf]
  8. Waclaw Sierpinski,  Sur le paradoxe de MM. Banach et Tarski, Fund. Math. 33, 229-234, 1945
  9. Waclaw Sierpinski,  Sur le paradoxe de la sphère, Fund. Math. 33, 235-244, 1945 [pdf]
  10. Karl Stromberg,  The Banach-Tarski paradox, The American Math. Monthly 86 (3), 151-161, 1979 [pdf]
  11. Francis Edward Su, The Banach-Tarski paradox [pdf]
  12. Anders O.F. Hendrickson, The Banach-Tarski paradox [presentación pdf]
  13. Measure theory: Why measure theory – The Banach-Tarski Paradox  [video]

III. Y para aprender, pero de manera un poco más ligera…

  • La tira de xkcd, Pumpkin Carving
  • Axiom of Choice joke meets Banach-Tarski
  • Troll Science: Infinite Foodz

IV. ¿Y ese título tan raro? Como consecuencia del resultado de Banach y Tarski, es posible cortar una bola de cualquier tamaño -un guisante o ¿una rana?- en un número finito de piezas, y recolocarlas convenientemente hasta formar otra bola de radio tan grande como queramos -el Sol o ¿un buey?-. El título aludía a la fábula de Jean de la Fontaine La Rana que pretendía igualarse al buey:

Una Rana vió á un Buey: su corpulencia
la causó complacencia.
La tal Rana, que no era como un huevo,
envidiosa y absorta de mirarle,
se imaginó igualarle:
Empezó á hincharse ¡caso raro y nuevo!
con fuerza desmedida, diciendo:
– Mírame bien,  hermana,
¿me falta mucho? ¿Soy ya tan crecida?
– Todavía no – ¿Qué tal? – Aún no le llegas.
– Ahora juzgo que sí – Por mas que bregas
aún estás muy distante.
Ello es que el orgulloso animalejo,
siguiendo la manía, tan tirante
llegó á poner su mísero pellejo,
que por fin reventó de allí a un instante.

Hay en el mundo plaga
de gentes, que, desnudas de prudencia,
remedan semejante competencia.

“La Grenouille qui se veut faire aussi grosse que le Bœuf”, Gustave Doré

3 Responses to “¿Puede una rana hacerse tan grande como un buey? Banach y Tarski responden”


  1. 1 Marta MS 30/03/2016 a las 07:25

    Reblogueó esto en Martams's Blogy comentado:

    #‎ParadojaDeBanachTarski‬
    El matemático Stefan Banach (1892-1945) nació un 30 de marzo

    Me gusta


  1. 1 El guisante y el Sol: una extraña equivalencia | Matemoción | Cuaderno de Cultura Científica Trackback en 06/08/2015 a las 13:01
  2. 2 Wanda Montlak Szmielew (1918-1976) | Trackback en 27/08/2016 a las 17:27

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