La biblioteca digital Bibnum acaba de publicar un análisis del trabajo de Georg Cantor titulado Contributions au fondement de la théorie des ensembles transfinis. Jean-Pierre Belna (Université Paris-VIII Saint-Denis y Université Paris-VII, Denis Diderot) ha realizado este estudio de uno de los artículos clave del matemático alemán.
Georg Cantor en 1894.
El artículo original de Georg Cantor se titula Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre y se publicó en Mathematische Annalen XLVI (1895), 481-496.
Cantor expone en este artículo los resultados obtenidos sobre números transfinitos, es decir, los números -cardinales y ordinales- que su teoría permite atribuir a los conjuntos infinitos.
Define tamben la relación de equipotencia -que Cantor llama «equivalencia»- entre conjuntos: dos conjuntos son equipotentes si existe una biyección entre ellos.
Además, introduce la noción de producto cartesiano de dos conjuntos.
El matemático establece una relación de orden entre los cardinales de los conjuntos transfinitos y realiza diferentes operaciones aritméticas con estos cardinales: suma, multiplicación y exponenciación -la resta y la división no funcionan bien en el caso transfinito-.
Para mostrar el interés de estas definiciones, Cantor prueba que si c es el cardinal del intervalo [0, 1] de la recta real y ℵ0 el cardinal del conjunto de los números naturales, entonces c = 2ℵ0.
Con esta verdadera aritmética de los números transfinitos, Cantor cambió radicalmente la visión de las matemáticas.
Más información:
- Contributions au fondement de la théorie des ensembles transfinis. La primera parte de este documento corresponde a la traducción al francés -a cargo de Jean-Pierre Belna- del artículo original de Georg Cantor de 1895. La segunda parte del documento es el original en alemán.
- Jean-Pierre Belna, Cantor et les nombres transfinis, análisis de Jean-Pierre Belna sobre Contributions au fondement de la théorie des ensembles transfinis para Bibnum (html y pdf). Aparece también una completa bibliografía sobre George Cantor y sus trabajos.
ztfnews.wordpress.com 
Si N es el conjunto de los nos. Naturales, y P(N) es el conjunto potencia, y si c=card(R), siendo R el conjunto de los números reales, sabemos que siendo alfcero=card(N), alfuno=card(P(N)), entonces usando los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) puede comprobarse que los tres cardinales anteriores cumplen: alfcero<alfuno≤c. La hipótesis del continuo afirma que: c=alfuno. Gödel probó en 1938 que esta hipótesis es consistente con los axiomas ZF, y por tanto puede ser tomado como un axioma nuevo para la teoría de conjuntos. Sin embargo, en 1963 Paul Cohen probó que la negación de la hipótesis del continuo también es consistente con los axiomas ZF, lo cual prueba que dicha hipótesis es totalmente independiente de los axiomas ZF. Es decir, pueden construirse tanto "una teoría de conjuntos cantoriana" en la que la hipótesis del continuo es una afirmación cierta, como "una teoría de conjuntos NO-cantoriana" en las que la hipótesis del continuo sea falsa. Esta situación es similar a la del postulado sobre las lineas paralelas de las geometrías no euclídeas & euclídeas. O sea la misma matemática ha admitido la posibilidad de contar con matemáticas con versiones “contradictorias” en al menos uno de sus axiomas respectivos. Ante la evidencia de tales hechos, (a menos que persista uno en su postura de no verlos o aceptarlos), finalmente es fácil concebir a la matemática como un simple lenguaje o producto cultural humano, y no como un lenguaje o producto cultural casi divino.
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Reblogueó esto en Martams's Blogy comentado:
#Númerostransfinitos
El matemático Georg Cantor (1845 -1918) falleció un 6 de enero
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Cantor fué un iluminado que pudo contemplar otros universos a través de las Matemáticas y por ello le consideraron loco. Tal vez si pudiésemos mirar por encima de la pared que el escaló, también nos quedaríamos allá, acompañándolo..
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Reblogueó esto en ..:Si todas las cosas fueran fáciles, cualquiera las haría :...
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