1234 + 2484 + 3674 = 1254 + 2444 + 3694

Bueno, no parece un título apasionante… lo impresionante es que esa igualdad sigue siendo cierta cuando los dígitos en cada término se permutan de la misma manera, es decir:

1234 + 2484 + 3674 = 1254 + 2444 + 3694
1243 + 2448 + 3647 = 1245 + 2444 + 3649
1324 + 2844 + 3764 = 1524 + 2444 + 3964
1342 + 2844 + 3746 = 1542 + 2444 + 3946
1423 + 2448 + 3467 = 1425 + 2444 + 3469
1432 + 2484 + 3476 = 1452 + 2444 + 3496
2134 + 4284 + 6374 = 2154 + 4244 + 6394
2143 + 4248 + 6347 = 2145 + 4244 + 6349
2314 + 4824 + 6734 = 2514 + 4424 + 6934
2341 + 4842 + 6743 = 2541 + 4442 + 6943
2413 + 4428 + 6437 = 2415 + 4424 + 6439
2431 + 4482 + 6473 = 2451 + 4442 + 6493
3124 + 8244 + 7364 = 5124 + 4244 + 9364
3142 + 8244 + 7346 = 5142 + 4244 + 9346
3214 + 8424 + 7634 = 5214 + 4424 + 9634
3241 + 8442 + 7643 = 5241 + 4442 + 9643
3412 + 8424 + 7436 = 5412 + 4424 + 9436
3421 + 8442 + 7463 = 5421 + 4442 + 9463
4123 + 4248 + 4367 = 4125 + 4244 + 4369
4132 + 4284 + 4376 = 4152 + 4244 + 4396
4213 + 4428 + 4637 = 4215 + 4424 + 4639
4231 + 4482 + 4673 = 4251 + 4442 + 4693
4312 + 4824 + 4736 = 4512 + 4424 + 4936
4321 + 4842 + 4763 = 4521 + 4442 + 4963

He visto esta mañana esta sorprendente propiedad en el blog Futility Closet, donde se comenta que la han extraído de un artículo de Pedro A. Pisa de septiembre de 1954 en la revista Scripta Mathematica… y que la propiedad sigue siendo cierta si se eleva cada número al cuadrado, es decir:

1234² + 2484² + 3674² = 1254² + 2444² + 3694²
1243² + 2448² + 3647² = 1245² + 2444² + 3649²
1324² + 2844² + 3764² = 1524² + 2444² + 3964²
1342² + 2844² + 3746² = 1542² + 2444² + 3946²
1423² + 2448² + 3467² = 1425² + 2444² + 3469²
1432² + 2484² + 3476² = 1452² + 2444² + 3496²
2134² + 4284² + 6374² = 2154² + 4244² + 6394²
2143² + 4248² + 6347² = 2145² + 4244² + 6349²
2314² + 4824² + 6734² = 2514² + 4424² + 6934²
2341² + 4842² + 6743² = 2541² + 4442² + 6943²
2413² + 4428² + 6437² = 2415² + 4424² + 6439²
2431² + 4482² + 6473² = 2451² + 4442² + 6493²
3124² + 8244² + 7364² = 5124² + 4244² + 9364²
3142² + 8244² + 7346² = 5142² + 4244² + 9346²
3214² + 8424² + 7634² = 5214² + 4424² + 9634²
3241² + 8442² + 7643² = 5241² + 4442² + 9643²
3412² + 8424² + 7436² = 5412²+ 4424² + 9436²
3421² + 8442²+ 7463² = 5421²+ 4442² + 9463²
4123² + 4248² + 4367² = 4125²+ 4244² + 4369²
4132² + 4284² + 4376² = 4152²+ 4244² + 4396²
4213² + 4428² + 4637² = 4215² + 4424² + 4639²
4231² + 4482² + 4673² = 4251² + 4442² + 4693²
4312² + 4824² + 4736² = 4512² + 4424² + 4936²
4321² + 4842² + 4763² = 4521²+ 4442² + 4963²

Futility Closet habló en 2009 de otra sorprendente identidad –Inmortal Truth– publicada en marzo de 1955 por Pedro A. Pisa en Scripta Mathematica:

123789 + 561945 + 642864 = 242868 + 323787 + 761943,

y además, “podando” los números por sus extremos, la propiedad sigue siendo válida:

Y aún sigue verificándose si se eliminan las dos cifras centrales de cada número:

1289 + 5645 + 6464 = 2468 + 3287 + 7643,

y si vuelve a hacerse de nuevo:

19 + 55 + 64 = 28 + 37 + 73…

Y más aún… ¡todas las igualdades anteriores son ciertas si se eleva cada número al cuadrado!