Pregunta: ¿Un número irracional elevado a una potencia irracional puede ser un número racional?
Respuesta:
Demostración (sencillísima):
es racional o irracional.
- Si es racional, la respuesta es positiva, y hemos acabado.
- Si es irracional, entonces como
= 2 que es racional, la respuesta vuelve a ser positiva.
CQD
Visto en Futility Closet
ztfnews.wordpress.com 
Muy bueno. En el ejemplo de raiz de 2, ¿cual seria el racional?
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Me ha costado unos segundos cazar la 2ª parte, pero es cierto (Si sigue funcionando lo de multiplicar exponentes,,,:),,,,,,,).
Muy bueno, es mas, creo que esto se podria aplicar a cualquier numero irracional que sea raíz cuadrada de un numero entero.
O raiz cuarta.
Bueno el hilo conductor del razonamiento.
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A mí me parece lógica esta demostración, ¿pero ya fue aprobada por matemáticos? No sé si les guste a los matemáticos.
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Si, es correctísima
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no funciona con pi (3,141516…)
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Efectivamente. No se dice que todo número irracional elevado a una potencia irracional sea un racional.
La pregunta es si puede suceder… y lo que se hace es dar un ejemplo.
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alguien me puede decir ¿Qué ocurre si elevamos un número racional a una potencia irracional?
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Reblogueó esto en Martams's Blogy comentado:
#HaceCuatroAños ¿Un número irracional elevado a una potencia irracional puede ser un número racional?
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Reblogueó esto en math – updatey comentado:
Math from The BOOK 💓 💓 …
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por que raíz cuadrada de 2 elevada a raíz cuadrada de 2 es irracional . . . .
Gracias
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No se dice que lo sea. Se argumenta diciendo que puede serlo o no…
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Sin embargo tiende a confusión, aunque ya estamos avisados como si fuese una premisa inviable
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Otra construcción: toma p natural mayor que 1; fijémonos en el conjunto P={p^(1/q) : q>0 es irracional}.
Así, P es no numerable, pues el mapeo q–>p^(1/q), q>0 irracional, es inyectivo.
Luego, debe existir un irracional t=p^(1/q). Por lo tanto t^q=p; es decir, irracional^irracional=natural.
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Hay una conjetura
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Esa demostración, aunque no sea constructiva, es elemental y muy ingeniosa. Yo se la cuento a mis alumnos de cálculo infinitesimal en primer curso del grado en matemáticas, aunque también es accesible para alumnos de bachillerato.
Se sabe que (√2)^(√2) es irracional, y de hecho es trascendente, pero este resultado es consecuencia de otro que es mucho más profundo, el célebre teorema de Gelfond-Schneider: si α,β son números complejos algebraicos tales que α ≠ 0,1 y β no es un número racional, entonces cualquier valor de α^β es un número trascendente.
Este teorema es la solución a una parte del séptimo problema de Hilbert.
Otra consecuencia del teorema de Gelfond-Schneider es que la constante de Gelfond 𝑒^𝜋 es trascendente por ser un valor de (-1)^(-i). Se conjetura que 𝜋^𝑒 también es trascendente, aunque ni siquiera se sabe si es irracional.
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¡Muchas gracias por el comentario! Abrazos
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