¿Puedes sumar 100?

He visto este problema esta mañana en The Dude Minds:

Usando una única vez todas las cifras del 0 al 9 ¿se pueden formar números de una o dos cifras cuya suma sea 100?

Vamos a pensar un poco… Supongamos que esta suma existe; entonces debe ser de la forma:

( 10d1 + u1 ) + ( 10d2 + u2 ) + … + ( 10dm + um ) + v1 + v2 + … + vn = 100,

donde las expresiones del tipo ( 10di + ui ) representan números de dos cifras y las de la forma vj números de una cifra.

Según el enunciado, las cifras diuivj deben de ser todas diferentes y tomar todos los valores entre 0 y 9.

La anterior suma puede reescribirse como:

 10 ( d1 + d2 + … + dm ) + u1 + u2 + … + um + v1 + v2 + … + vn = 100.

Basta ahora con notar que:

0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.

Así, si llamamos a la suma de las cifras que ocupan los lugares de las unidades x,

u1 + u2 + … + um + v1 + v2 + … + vn = x,

entonces está claro que la suma de las cifras que ocupan los lugares de las decenas es:

d1 + d2 + dm = 45 – x.

Así, tenemos:

10 ( 45 – x ) + x = 100,

y operando

350  = 9 x,

es decir,

x = 350 /9,

imposible, al ser x un número entero.

Así que la respuesta a la pregunta:

Usando una única vez todas las cifras del 0 al 9 ¿se pueden formar números de una o dos cifras cuya suma sea 100?

es que NO.

En The Dude Minds se da como referencia el libro de George Pólya, How to Solve It : A New Aspect Of Mathematical Method, Princeton University Press, 2004

PD: Esta entrada participa en la edición 3.141592 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es ZTFNews (éste)

3 Responses to “¿Puedes sumar 100?”


  1. 1 JORDI 07/09/2014 de 23:46

    Bueno, efectivamente con cualquier combinación que se haga y utilizando sólo el signo suma (+) siempre da un mútiplo de 9 pero yo creo haber encontrado la manera de resolverlo. Allá va:

    si sumando

    1+2+3+4+5+6+78+9+0= 108

    sólo tenemos que elevar 9 a la potencia 0 con lo que transformamos el 9 en un 1, y por tanto transformamos el 108 en 100 que es lo que buscábamos

    1+2+3+4+5+6+78+9º= 100

    el resultado es el que buscábamos y no utilizamos otra operación que la suma, ya que no creo que debamos considerar que 9º=1 sea ninguna operación

    un saludo

    Jordi

    Me gusta

  2. 2 Marta MS 27/09/2016 de 08:14

    Reblogueó esto en Martams's Blogy comentado:

    #HaceCuatroAños ¿Puedes sumar 100?

    Me gusta


  1. 1 Carnaval de Matemáticas: resumen de la edición 3,141592 « :: ZTFNews.org Trackback en 01/10/2012 de 18:15

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