¿Puedes sumar 100?

He visto este problema esta mañana en The Dude Minds:

Usando una única vez todas las cifras del 0 al 9 ¿se pueden formar números de una o dos cifras cuya suma sea 100?

Vamos a pensar un poco… Supongamos que esta suma existe; entonces debe ser de la forma_:

( 10d₁ + u₁ ) + ( 10d₂ + u₂ ) + … + ( 10d_m + u_m ) + v₁ + v₂ + … + v_n = 100,

donde las expresiones del tipo ( 10d_i + u_i ) representan números de dos cifras y las de la forma v_j números de una cifra.

Según el enunciado, las cifras d_i, u_i y v_j deben de ser todas diferentes y tomar todos los valores entre 0 y 9.

La anterior suma puede reescribirse como:

 10 ( d₁ + d₂ + … + d_m ) + u₁ + u₂ + … + u_m + v₁ + v₂ + … + v_n = 100.

Basta ahora con notar que:

0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45.

Así, si llamamos a la suma de las cifras que ocupan los lugares de las unidades x,

u₁ + u₂ + … + u_m + v₁ + v₂ + … + v_n = x,

entonces está claro que la suma de las cifras que ocupan los lugares de las decenas es:

d₁ + d₂ + … + d_m = 45 – x.

Así, tenemos:

10 ( 45 – x ) + x = 100,

y operando

350  = 9 x,

es decir,

x = 350 /9,

imposible, al ser x un número entero.

Así que la respuesta a la pregunta:

Usando una única vez todas las cifras del 0 al 9 ¿se pueden formar números de una o dos cifras cuya suma sea 100?

es que NO.

En The Dude Minds se da como referencia el libro de George Pólya, How to Solve It : A New Aspect Of Mathematical Method, Princeton University Press, 2004

PD: Esta entrada participa en la edición 3.141592 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es ZTFNews (éste)