En el blog The Dude Minds… recuerdan una demostración de la irracionalidad de √2, también por reducción al absurdo, como la clásica prueba que solemos enseñar en el aula.
Supongamos que √2 es racional y que se escribe como
con m y n coprimos (es decir, la fracción es reducida), entonces se cumple también que
y aquí está la contradicción: se trata de una fracción con términos menores a la primera.
Esto se merece una explicación un poco más minuciosa. ¿Seguro que la segunda fracción es igual a la primera? ¿Seguro que el denominador de la segunda es positivo y menor que el denominador de la primera n? Vamos a verlo. Como
Y como n es positivo, multiplicando por n
n < m < 2n,
y restando n
0 < m – n < n.
Así, el denominador de la segunda fracción es positivo y menor que el de la primera fracción.
Partiendo de
de manera equivalente se tiene que
Observar que como m y n son coprimos, n es el menor entero que hace que el miembro de la izquierda sea entero. Elevando al cuadrado
2 n2 = m2
y restando nm de cada lado de la igualdad
2 n2 – mn = m2 – mn.
Observar que como n < m < 2n, es mn < m2, luego ambos lados de la anterior igualdad son positivos. Sacando factor común, queda
n ( 2 n- m ) = m ( m – n ),
y entonces se obtiene el resultado buscado
y la contradicción.
En el artículo [David M. Bloom, A One-Sentence Proof That √2 Is Irrational, Mathematics Magazine 68 (1995), no. 4, 286] el autor menciona que Ivan Niven hizo una demostración un poco diferente en 1985. También comenta que este argumento puede modificarse para tratar la irracionalidad de cualquier √k donde k no es un cuadrado perfecto.
Nota: Esta entrada está traducida de Plus d’une preuve dans son sac… del blog The Dude Minds…
ztfnews.wordpress.com 
Sin suponer la «coprimidad» de «m» y «n», por un proceso de descenso infinito (o era finito?) también se llegaría a contradicción.
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Jajajaja. Bromas aparte, estas pruebas son preciosas, sencillas,… como dice en el artículo original «one-sentence proof».
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Excelente entrada. Busco completar la información que aparece profundizando en el concepto de número irracional
En mi opinión, el concepto de número irracional está muy ligado al de demostración.
Por muchas cifras decimales que hallemos, nunca podremos estar seguros de que nunca acabarán.
Es necesario demostrar que nunca se acabará
Es decir, debemos usar algún tipo de razonamiento, el simple cálculo no sirve para asegurar que un número es irracional.
Además casi siempre se trata de un tipo de razonamiento sofisticado: La demostración por reducción al absurdo. A veces se trata de demostraciones por contraposición.
En fin muchos conceptos interesantes que se pueden trabajar en estas direcciones:
Haz clic para acceder a Andalucia-Geometria.pdf
Haz clic para acceder a Arsac02.pdf
Haz clic para acceder a demostraciones2.pdf
http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com.es/2012/12/la-demostracion-de-apostol-de-la.html
http://cyt-ar.com.ar/cyt-ar/index.php/Courant%26Robbins_M
http://gaussianos.com/dos-demostraciones-de-la-irracionalidad-de-raiz-de-2/
http://gaussianos.com/una-demostracion-geometrica-de-la-irracionalidad-de-raiz-de-2/
http://javifields.blogspot.com/2006/03/cmo-demostrar-la-irracionalidad-de-un.html
http://www.cimm.ucr.ac.cr/ciaem/articulos/educacion/concepciones/Concepciones del profesor de secundaria sobre la demostración matemática.*Vicario, Vicente y Carrillo, Jose.*Vicario,%20V.%20Cooncepciones%20del%20profesor%20de%20secundaria…2005.pdf
http://funes.uniandes.edu.co/1306/
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Reblogueó esto en Martams's Blogy comentado:
#HaceCuatroAños La raíz de 2 es irracional
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A mi me gusta especialmente, la demostración geométrica que viene en el libro de «Geometría Métrica» de Pedro Puig Adam (entre otros)
http://aprender-ensenyar-matematicas.blogspot.com.es/2017/09/matematicas-gourmet-raiz-de-2-es-un.html
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Se puede suponer que la raíz cuadrada de 2 es un racional (a/b) mayor que 1 y menor que 2, donde a y b no tienen factores primos comunes.
Al elevar al cuadrado en ambos miembros, se obtiene:
(a²/b²) = 2. (*)
Si el conjunto de los factores primos de a es A = (a1, a2, … ,ak), y el conjunto de los factores primos de b es B = (b1, b2, … , bm), se tiene que:
A∩B = ∅.
Los factores primos de a² son a1,a1, a2,a2, …, ak,ak. Debido a que están repetidos, el conjunto de factores primos de a² es C = (a1,a2, …, ak) = A.
Y los factores primos de b² son b1,b1,b2,b2, …, bm,bm. Del mismo modo, debido a que están repetidos, el conjunto de factores primos de b² es:
D = (b1,b2, …, bm) = B.
Como C=A y D=B, C∩D =∅.
Por tanto, a² y b² no tienen factores primos comunes.
Entonces, la fracción a²/ b² es irreducible.
Se deduce que a²/ b² ≠ k, donde k es un número natural.
En particular a²/ b² ≠ 2.
Según la expresión (*), hemos llegado a una contradicción. La suposición inicial es falsa. Finalmente, la raíz cuadrada de 2 es un irracional.
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Sea (2)^(1/n) = (a/b), donde a y b es un racional mayor que 1 y menor que 2. Además, a y b no tienen factores primos comunes.
Al elevar al exponente n en ambos miembros, se obtiene:
(a/b)^n = 2 (*).
Sea A = (a1, a2, a3, … , ak) el conjunto de factores primos de a.
Sea B = (b1, b2, b3, … , bm) el conjunto de factores primos de b.
Sabemos que A∩B = ∅.
Los factores primos de (a)^n, son (a1,a1, … ,a1), (a2,a2, … , a2), … , (ak, ak, …, ak), donde los factores en cada paréntesis se repiten n veces.
Por tanto, como son los mismos factores de A repetidos, el conjunto de factores primos de (a)^n, es C = (a1, a2, a3, … , ak) = A.
Los factores primos de b^n, son (b1, b1, …, b1), (b2, b2, … , b2), … , (bm, bm, … , bm), donde los factores en cada paréntesis se repiten n veces.
Por tanto, como son los mismos factores de B repetidos, el conjunto de factores primos de (b)^n, es D = (b1, b2, b3, … , bm) = B.
Debido a que C = A y D = B, C∩D = ∅.
Entonces, (a)^n y (b)^n no tienen factores primos comunes.
Y la fracción (a)^n / (b)^n es irreducible.
Así, (a/b)^n ≠ k, siendo k un número natural.
En particular, (a/b)^n ≠ 2.
Según la expresión (*), hemos llegado a una contradicción.
La suposición inicial es falsa. Finalmente, la raíz enésima de 2 es un número irracional.
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Este mismo método sirve para demostrar que si la raíz enésima de un número natural A no es un número entero, entonces es un irracional.
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Sea (2)^(1/n) = (a/b), donde a / b es un racional mayor que 1 y menor que 2. Además, a y b no tienen factores primos comunes.
Al elevar al exponente n en ambos miembros, se obtiene:
(a/b)^n = 2 (*).
Sea A = (a1, a2, a3, … , ak) el conjunto de factores primos de a.
Sea B = (b1, b2, b3, … , bm) el conjunto de factores primos de b.
Sabemos que A∩B = ∅.
Los factores primos de (a)^n, son (a1,a1, … ,a1), (a2,a2, … , a2), … , (ak, ak, …, ak), donde los factores en cada paréntesis se repiten n veces.
Por tanto, como son los mismos factores de A repetidos, el conjunto de factores primos de (a)^n, es C = (a1, a2, a3, … , ak) = A.
Los factores primos de b^n, son (b1, b1, …, b1), (b2, b2, … , b2), … , (bm, bm, … , bm), donde los factores en cada paréntesis se repiten n veces.
Por tanto, como son los mismos factores de B repetidos, el conjunto de factores primos de (b)^n, es D = (b1, b2, b3, … , bm) = B.
Debido a que C = A y D = B, C∩D = ∅.
Entonces, (a)^n y (b)^n no tienen factores primos comunes.
Y la fracción (a)^n / (b)^n es irreducible.
Así, (a/b)^n ≠ k, siendo k un número natural.
En particular, (a/b)^n ≠ 2.
Según la expresión (*), hemos llegado a una contradicción.
La suposición inicial es falsa. Finalmente, la raíz enésima de 2 es un número irracional.
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