La raíz de 2 es irracional

En el blog The Dude Minds… recuerdan una demostración de la irracionalidad de √2, también por reducción al absurdo, como la clásica prueba que solemos enseñar en el aula.

Supongamos que √2 es racional y que se escribe como

con m y n coprimos (es decir, la fracción es reducida), entonces se cumple también que

y aquí está la contradicción: se trata de una fracción con términos menores a la primera.

Esto se merece una explicación un poco más minuciosa. ¿Seguro que la segunda fracción es igual a la primera? ¿Seguro que el denominador de la segunda es positivo y menor que el denominador de la primera n? Vamos a verlo. Como

Y como n es positivo, multiplicando por n

n < m < 2n,

y restando n

 0 < m – n < n.

Así, el denominador de la segunda fracción es positivo y menor que el de la primera fracción.

Partiendo de

de manera equivalente se tiene que

Observar que como m y n son coprimos, n es el menor entero que hace que el miembro de la izquierda sea entero. Elevando al cuadrado

2 n2 =  m2

y restando nm de cada lado de la igualdad

2 n2 – mn =  m2 – mn.

Observar que como n < m < 2n, es mn <  m2, luego ambos lados de la anterior igualdad son positivos. Sacando factor común, queda

n ( 2 n- m ) =  m ( m – n ),

y entonces se obtiene el resultado buscado

y la contradicción.

En el artículo [David M. Bloom, A One-Sentence Proof That √2 Is Irrational, Mathematics Magazine 68 (1995), no. 4, 286] el autor menciona que Ivan Niven hizo una demostración un poco diferente en 1985. También comenta que este argumento puede modificarse para tratar la irracionalidad de cualquier √k donde k no es un cuadrado perfecto.

Nota: Esta entrada está traducida de Plus d’une preuve dans son sac… del blog The Dude Minds…

9 Responses to “La raíz de 2 es irracional”


  1. 1 José Antonio Prado Bassas 12/11/2012 de 20:23

    Sin suponer la “coprimidad” de “m” y “n”, por un proceso de descenso infinito (o era finito?) también se llegaría a contradicción.

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  2. 2 Marta MS 12/11/2012 de 20:26

    Jajajaja. Bromas aparte, estas pruebas son preciosas, sencillas,… como dice en el artículo original “one-sentence proof”.

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  3. 3 martinjaime80filomates 26/03/2013 de 03:11

    Excelente entrada. Busco completar la información que aparece profundizando en el concepto de número irracional
    En mi opinión, el concepto de número irracional está muy ligado al de demostración.
    Por muchas cifras decimales que hallemos, nunca podremos estar seguros de que nunca acabarán.
    Es necesario demostrar que nunca se acabará
    Es decir, debemos usar algún tipo de razonamiento, el simple cálculo no sirve para asegurar que un número es irracional.
    Además casi siempre se trata de un tipo de razonamiento sofisticado: La demostración por reducción al absurdo. A veces se trata de demostraciones por contraposición.
    En fin muchos conceptos interesantes que se pueden trabajar en estas direcciones:

    http://www.uam.es/proyectosinv/estalmat/ReunionCantabria2012/Andalucia-Geometria.pdf

    http://www-didactique.imag.fr/preuve/Resumes/Arsac/Arsac02.pdf

    http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/Mateducativa/demostraciones2.pdf

    http://parafernaliasmatematicas.blogspot.com.es/2012/12/la-demostracion-de-apostol-de-la.html

    http://cyt-ar.com.ar/cyt-ar/index.php/Courant%26Robbins_M

    http://gaussianos.com/dos-demostraciones-de-la-irracionalidad-de-raiz-de-2/

    http://gaussianos.com/una-demostracion-geometrica-de-la-irracionalidad-de-raiz-de-2/

    http://javifields.blogspot.com/2006/03/cmo-demostrar-la-irracionalidad-de-un.html

    http://www.cimm.ucr.ac.cr/ciaem/articulos/educacion/concepciones/Concepciones del profesor de secundaria sobre la demostración matemática.*Vicario, Vicente y Carrillo, Jose.*Vicario,%20V.%20Cooncepciones%20del%20profesor%20de%20secundaria…2005.pdf

    http://funes.uniandes.edu.co/1306/

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  4. 4 Marta MS 12/11/2016 de 07:55

    Reblogueó esto en Martams's Blogy comentado:

    #HaceCuatroAños La raíz de 2 es irracional

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  5. 5 Angel de la Llave 19/11/2017 de 19:15

    A mi me gusta especialmente, la demostración geométrica que viene en el libro de “Geometría Métrica” de Pedro Puig Adam (entre otros)
    http://aprender-ensenyar-matematicas.blogspot.com.es/2017/09/matematicas-gourmet-raiz-de-2-es-un.html

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  6. 6 Luis Cervantes 27/02/2019 de 04:37

    Se puede suponer que la raíz cuadrada de 2 es un racional (a/b) mayor que 1 y menor que 2, donde a y b no tienen factores primos comunes.
    Al elevar al cuadrado en ambos miembros, se obtiene:
    (a²/b²) = 2. (*)
    Si el conjunto de los factores primos de a es A = (a1, a2, … ,ak), y el conjunto de los factores primos de b es B = (b1, b2, … , bm), se tiene que:
    A∩B = ∅.
    Los factores primos de a² son a1,a1, a2,a2, …, ak,ak. Debido a que están repetidos, el conjunto de factores primos de a² es C = (a1,a2, …, ak) = A.
    Y los factores primos de b² son b1,b1,b2,b2, …, bm,bm. Del mismo modo, debido a que están repetidos, el conjunto de factores primos de b² es:
    D = (b1,b2, …, bm) = B.
    Como C=A y D=B, C∩D =∅.
    Por tanto, a² y b² no tienen factores primos comunes.
    Entonces, la fracción a²/ b² es irreducible.
    Se deduce que a²/ b² ≠ k, donde k es un número natural.
    En particular a²/ b² ≠ 2.
    Según la expresión (*), hemos llegado a una contradicción. La suposición inicial es falsa. Finalmente, la raíz cuadrada de 2 es un irracional.

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  7. 7 Luis Cervantes 04/03/2019 de 15:22

    Sea (2)^(1/n) = (a/b), donde a y b es un racional mayor que 1 y menor que 2. Además, a y b no tienen factores primos comunes.
    Al elevar al exponente n en ambos miembros, se obtiene:
    (a/b)^n = 2 (*).
    Sea A = (a1, a2, a3, … , ak) el conjunto de factores primos de a.
    Sea B = (b1, b2, b3, … , bm) el conjunto de factores primos de b.
    Sabemos que A∩B = ∅.
    Los factores primos de (a)^n, son (a1,a1, … ,a1), (a2,a2, … , a2), … , (ak, ak, …, ak), donde los factores en cada paréntesis se repiten n veces.
    Por tanto, como son los mismos factores de A repetidos, el conjunto de factores primos de (a)^n, es C = (a1, a2, a3, … , ak) = A.
    Los factores primos de b^n, son (b1, b1, …, b1), (b2, b2, … , b2), … , (bm, bm, … , bm), donde los factores en cada paréntesis se repiten n veces.
    Por tanto, como son los mismos factores de B repetidos, el conjunto de factores primos de (b)^n, es D = (b1, b2, b3, … , bm) = B.
    Debido a que C = A y D = B, C∩D = ∅.
    Entonces, (a)^n y (b)^n no tienen factores primos comunes.
    Y la fracción (a)^n / (b)^n es irreducible.
    Así, (a/b)^n ≠ k, siendo k un número natural.
    En particular, (a/b)^n ≠ 2.
    Según la expresión (*), hemos llegado a una contradicción.
    La suposición inicial es falsa. Finalmente, la raíz enésima de 2 es un número irracional.

    Me gusta

  8. 8 Luis Cervantes 04/03/2019 de 15:26

    Este mismo método sirve para demostrar que si la raíz enésima de un número natural A no es un número entero, entonces es un irracional.

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  9. 9 Luis Cervantes 04/03/2019 de 15:42

    Sea (2)^(1/n) = (a/b), donde a / b es un racional mayor que 1 y menor que 2. Además, a y b no tienen factores primos comunes.
    Al elevar al exponente n en ambos miembros, se obtiene:
    (a/b)^n = 2 (*).
    Sea A = (a1, a2, a3, … , ak) el conjunto de factores primos de a.
    Sea B = (b1, b2, b3, … , bm) el conjunto de factores primos de b.
    Sabemos que A∩B = ∅.
    Los factores primos de (a)^n, son (a1,a1, … ,a1), (a2,a2, … , a2), … , (ak, ak, …, ak), donde los factores en cada paréntesis se repiten n veces.
    Por tanto, como son los mismos factores de A repetidos, el conjunto de factores primos de (a)^n, es C = (a1, a2, a3, … , ak) = A.
    Los factores primos de b^n, son (b1, b1, …, b1), (b2, b2, … , b2), … , (bm, bm, … , bm), donde los factores en cada paréntesis se repiten n veces.
    Por tanto, como son los mismos factores de B repetidos, el conjunto de factores primos de (b)^n, es D = (b1, b2, b3, … , bm) = B.
    Debido a que C = A y D = B, C∩D = ∅.
    Entonces, (a)^n y (b)^n no tienen factores primos comunes.
    Y la fracción (a)^n / (b)^n es irreducible.
    Así, (a/b)^n ≠ k, siendo k un número natural.
    En particular, (a/b)^n ≠ 2.
    Según la expresión (*), hemos llegado a una contradicción.
    La suposición inicial es falsa. Finalmente, la raíz enésima de 2 es un número irracional.

    Me gusta


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