¿De qué color son las fichas del saco?

Tal día como hoy falleció Lewis Carroll (1832-1898), así que aprovecho el día para recordar un problema de probabilidad de su The Mathematical Recreations of Lewis Carroll: Pillow Problems and a Tangled Tale Reading [Dover, 1958, pdf].

El enunciado del problema es el siguiente:

Un saco contiene dos fichas, de las que se sabe que pueden ser de color blanco o negro. ¿Puedes prever su color sin sacarlas de la bolsa?

Lewis Carroll afirma que una de las fichas es negra y la otra blanca… y lo argumenta del siguiente modo:

Observación Previa: Si la bolsa contuviera dos fichas negras (n) y una blanca (b), la probabilidad de sacar una ficha negra es de 2/3, y es el único caso en el que la probabilidad da este valor.

En la bolsa del problema planteado tenemos dos fichas, así que:

1) la probabilidad de que contenga dos fichas blancas (suceso B) es de 1/4: un caso favorable (b,b) entre los cuatro posibles (b,b), (b,n), (n,b) y (n,n);

2) la probabilidad de que el saco contenga una ficha blanca y otra negra (suceso BN) es de 1/2: dos casos favorables (b,n) y (n,b) entre los cuatro posibles (b,b), (b,n), (n,b) y (n,n);

3) la probabilidad de que el saco contenga dos fichas negras (suceso N) es de 1/4: un caso favorable (n,n) entre los cuatro posibles  (b,b), (b,n), (n,b) y (n,n).

Es claro que {B,BN,N} es un sistema completo de eventos.

Ahora introducimos una ficha negra en la bolsa y llamamos A al evento “se saca una ficha negra de la bolsa que contiene las tres fichas”.

Y Carroll sigue argumentando…

Por el teorema de la probabilidad total:

P(A) = P(A/B)P(B) + P(A/BN)P(BN) + P(A/N)P(N)

= 1/3 x 1/4 + 2/3 x 1/2 + 1/4 x 1 = 2/3.

Es decir, es la misma que la probabilidad de extraer una ficha negra cuando el saco contiene dos fichas negras y una blanca…, así se concluye que antes de añadir la ficha negra, la bolsa contenía una ficha negra y una blanca.

Lewis Carroll da esta solución aparentemente seria al problema, y lo remata con esta frase:

To the casual reader it may seem abnormal, and even paradoxical; but I would have such a reader ask himself, candidly, the question “Is not, Life itself a Paradox?”.