Una conjetura sobre números prácticos

Una fracción egipcia es la suma de fracciones unitarias distintas –como por ejemplo 1/2 + 1/3 + 1/12– es decir, cada fracción en la expresión tiene un numerador igual a 1 y un denominador que es un entero positivo, y todos ellos son diferentes.

El ojo de Horus (Udyat) contiene los símbolos jeroglíficos de los primeros números racionaleshttp://en.wikipedia.org/wiki/File:Oudjat.SVG

El ojo de Horus (Udyat) contiene los símbolos jeroglíficos de los primeros números racionales
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Oudjat.SVG

Todo número racional positivo puede escribirse en fracción egipcia.

Un numero práctico [A.K. Srinivasan, Practical numbers, Current Science 17,179–180, 1948] es un número positivo n tal que todos los enteros positivos menores que él se pueden escribir como sumas de distintos divisores de n [ver el listado de los primeros en OEIS: A005153]. Por ejemplo, 12 es un número práctico, porque todos los números entre el 1 y el 11 pueden escribirse como sumas de los divisores de 12 –1, 2, 3, 4 y 6:

1=1, 2=2, 3=3, 4=4, 5=3+2, 6=6, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+3+1 y 11=6+3+2.

Fibonacci usó estos números en su Liber Abaci (1202) al tratar el problema de escribir números racionales en fracción egipcia: no los definió de manera formal, pero dió una tabla de expansiones en fracción egipcia con denominadores números prácticos.

Aunque los números prácticos son altamente compuestos, tienen propiedades de densidad similares a las de los números primos. Y como en el caso de los números primos, el primero tiene una paridad diferente de todo el resto.

Con los números prácticos podemos realizar la misma operación que se hace con los primos al hablar de la conjetura de Gilbreath: se construye el triángulo cuya primera columna consiste en los números prácticos y el resto de los números se van construyendo tomando el valor absoluto de la diferencia de los dos números a su izquierda:

  1
  2 1
  4 2 1
  6 2 0 1
  8 2 0 0 1
 12 4 2 2 2 1
 16 4 0 2 0 2 1
 18 2 2 2 0 0 2 1
 20 2 0 2 0 0 0 2 1
 24 4 2 2 0 0 0 0 2 1
 28 4 0 2 0 0 0 0 0 2 1
 30 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 1
 32 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 1
 36 4 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1
 40 4 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1
 42 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1
 48 6 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1
 54 6 0 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1
 56 2 4 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 1
 60 4 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 2 1
 64 4 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 2 1
 66 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 2 1
 72 6 4 2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 1
 78 6 0 4 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 1
 80 2 4 4 0 2 0 2 0 0 0 2 0 2 0 2 0 0 0 2 0 2 0 0 1

Y al ir haciéndolo, se observa que en el lado derecho aparece siempre la cifra ‘1’.

Al igual que la conjetura de Gilbreath dice que la última cifra de esta construcción –al realizarla con la primera columna formada por primos– es siempre la cifra ‘1’, ¿no pasará lo mismo con los números prácticos? Así lo conjetura OxDE

Visto en Math Fail

PD: Esta entrada participa en la edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Tito Eliatron Dixit.

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3 Responses to “Una conjetura sobre números prácticos”


  1. 1 jimenalemes 24/02/2013 de 16:23

    Super interesante!!!

    Me gusta

  2. 2 Marta MS 24/02/2016 de 22:11

    Reblogueó esto en Martams's Blogy comentado:

    Una conjetura sobre números prácticos

    Me gusta

  3. 3 Leonardo 31/08/2017 de 01:54

    La información contenida es muy interesante, porque nos motiva a seguir encontrando nuevas representaciones con las fracciones egípcias. Las clases de números perfectos, amigos, parásitos y muchas clases más deben ser estudiadas a fondo para encontrarles aplicaciones interesantes.

    Me gusta


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