De productos y cuadrados

PROBLEMA: Demostrar que el producto de cuatro enteros positivos consecutivos no puede ser un cuadrado perfecto.

prod

Demostración: Si n es el menor de estos enteros, entonces el producto es:

n(n+1)(n+2)(n+3) = n(n+3)(n+1)(n+2) =

(n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) = (n2 + 3n + 1)2 – 1.

Si existiera un entero m tal que n(n+1)(n+2)(n+3) =  m2, tendríamos que

(n2 + 3n + 1)2 – 1 =  m2,

es decir,

(n2 + 3n + 1)2m2 = 1.

Si llamamos n2 + 3n + 1 = k, tendríamos que k2m2 = 1, es decir,

(k + m)(k – m) = 1,

lo cual es imposible. CQD

Nota: Hemos aplicado la siguiente propiedad: Si m es un número cualquiera, entonces m (m + 2) = m2 + 2m =  (m+ 1)2 – 1.

Visto en Futility Closet

2 Respuestas to “De productos y cuadrados”


  1. 1 Marta MS 14/03/2016 a las 08:09

    Reblogueó esto en Martams's Blogy comentado:

    De productos y cuadrados

    Me gusta

  2. 2 Math - Update 22/08/2016 a las 12:11

    Reblogueó esto en math – updatey comentado:
    Just 4 Math 💝…

    Me gusta


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