El juego del jazz

Para promocionar el festival de jazz ELBJAZZ 2013 en Hamburgo, la organización ideó este Jazzgame:

Captura de pantalla del video que aparece debajo.

Se colocaron en plena calle 10 sillas que debían ocupar la vocalista y los músicos, y frente a ellas, otras 10 sillas vacías esperaban a que alguien se sentara…

Si una persona ocupaba un asiento, el o la intérprete sentada en el lugar simétrico se levantaba para interpretar Summertime de George Gerswhing –al menos en el caso de este video–.

¿Cuántas posibles melodías pueden interpretarse? Es decir, ¿cuántas combinaciones de instrumentos son posibles?

Si hubiera sólo una persona sentada, podría estarlo en 10 lugares diferentes.  Así que hay 10 posibles melodías con un único instrumento.

¿Y con dos? Si dos personas se sientan en alguna de las 10 sillas, pueden hacerlo –da lo mismo el orden en el que se sienten, lo importante es que asientos se ocupan, no las personas que lo hacen– de 45 maneras diferentes: son las combinaciones de 10 elementos tomadas de dos en dos C(10,2)=10! / 2! 8!.

Si continuamos de este modo, está claro que hay C(10,n) maneras de conseguir que toquen n de los intérpretes:

C(10,n) = 10! / n! (10-n)!

Así, hay 1023 posibles melodías a escuchar, ya que –no cuento el momento en que no tocan, es decir, en el que las sillas están vacías; recordar las propiedades de los números combinatorios– sería la suma:

C(10,1)+C(10,2)+C(10,3)+C(10,4)+C(10,5)+C(10,6)+C(10,7)+C(10,8)+C(10,9)+C(10,10)=

10+45+120+210+252+210+120+45+10+1 = 2¹⁰– 1 =1023

Triángulo de Pascal.

¡Una bonita iniciativa! Se parece a la propuesta Madera a la deriva de Jorge Drexler.

Visto en Froot

Esta entrada participa en la X Edición del Carnaval de Humanidades, cuyo blog anfitrión es El mundo de las Ideas y en la Edición 5.2 del Carnaval de Matemáticas cuyo anfitrión es Matesdedavid