Los siguientes números son primos y palindrómicos –capicúas–: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181, etc.
¿Has visto que en esta lista hemos pasado de números primos capicúas de tres cifras a números de cinco cifras?
¿Por qué? Para explicar la razón, vamos a utilizar unos conceptos sencillos de teoría de congruencias –el enlace corresponde a los apuntes de la asignatura de Matemáticas Básicas del curso 2012/2013 en el Grado de Matemáticas de la UPV/EHU–.
Si N, a y b (a < b) son números naturales, decimos que N es congruente con a módulo b,
N ≡ a (mód b),
cuando al dividir N por b, el resto de la división es a.
Vamos a usar dos propiedades fundamentales de congruencias:
- si N1 ≡ a1 (mód b) y N2 ≡ a2 (mód b), es N1 + N2 ≡ a1 + a2 (mód b), y
- si N1 ≡ a1 (mód b) y N2 ≡ a2 (mód b), es N1 x N2 ≡ a1 x a2 (mód b).
Aplicando la propiedad 2., obtenemos:
- 1 ≡ 1 (mód 11),
- 10 ≡ -1 (mód 11),
- 100 ≡ 10 x 10 (mód 11) ≡ -1 x (-1) (mód 11) ≡ 1 (mód 11),
- 1000 ≡ 100 x 10 (mód 11) ≡ 1 x (-1) (mód 11) ≡ -1 (mód 11), etc.,
es decir,
- 10n ≡ 1 (mód 11) si n es par y
- 10n ≡ -1 (mód 11) si n es impar.
Si tomamos cualquier número N de 4 cifras, su representación decimal es:
N = 1000a + 100b + 10c + d, con a distinto de cero.
Si N es además palindrómico, entonces a = d y b = c, es decir,
N = 1000a + 100b + 10b + a.
Y usando las propiedades de congruencias 1. y 2. citadas arriba, es:
N = 1000a + 100b + 10b + a ≡ (-a) + b + (-b) + a (mód 11) ≡ 0 (mód 11),
es decir, N es múltiplo de 11; y al tener 4 cifras, no puede ser primo.
Es decir, acabamos de probar que no existen números primos palindrómicos con 4 cifras.
De hecho, argumentando exactamente del mismo modo, se puede probar que no existen primos palindrómicos con un número par de cifras (excepto el 11).
Más información: A002385, The OEIS
Hemos hablado de palíndromos variados en:
ztfnews.wordpress.com 
¿Que pasa con el nº 11?
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Para evitar malentendidos, deberíais poner «excepto el 11» en el titular.
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Vaya, se me escapó al poner el título. Aunque se aclara dentro y pienso todo el mundo sabe que el 11 es capicúa (y primo), es decir, que se da cuenta enseguida. De cualquier manera, mis disculpas por ello.
De todos modos, gracias por leerlo y por el consejo. Entiendo que el título ya está puesto y no se debe cambiar.
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Es capicúa, efectivamente. Se dice en el post.
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El 2,3,5,7 no son par de cifras y no son capicúas…para ser capicúa tiene que haber un mínimo de 2 cifras…el cap(cabeza) y la cua(cola)
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Mira la definición en este enlace.
Los números de una cifra son capicúas. Gracias de todas maneras por la aclaración.
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Hola Marta :
¡Qué interesante esto ! Nos ha encantado , mi hijo y yo lo hemos estado mirando, debatiendo y charlando sobre esto.
Recordamos mucho tu conferencia en la UC en el ciclo de matemáticas , sobre la presencia de las matemáticas en la Literatura.¡Genial!
Acabamos de descubrir tu blog .
Un saludo
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Gracias 🙂
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Reblogueó esto en Martams's Blogy comentado:
#HaceDosAños No hay números primos palindrómicos con un número par de cifras (salvo el 11)
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faltan un buen no manchen
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