Los diagramas de Ferrers

El matemático Norman Macleod Ferrers (1829–1903) nació un 11 de agosto.

ferrers

Diagramas de Ferrers de las particiones del número 4

Se le recuerda fundamentalmente por los diagramas de Ferrers –estrechamente relacionados con los diagramas de Young– de la teoría de particiones enteras.

Una partición de un entero positivo n es una forma de descomponer n como suma de enteros positivos, que normalmente se escriben del mayor al menor. Se suelen visualizar por medio de diagramas: los diagramas de Ferrers y los diagramas de Young. Arriba se mostraban las particiones del número 4:

4 = 2+1+1 = 3+1 = 2+2 = 1+1+1+1.

Dos particiones se llaman duales o conjugadas cuando se obtiene la una de la otra intercambiando filas y columnas en el diagrama de Ferrers. Por ejemplo, debajo se muestran dos particiones duales del número 18, que corresponden a:

18 = 7+4+3+3+1     y     18 = 5+4+4+2+1+1+1.

Particiones duales del 18

Particiones duales del 18

Se llaman particiones autoconjugadas a las que coinciden con su dual. Es fácil detectarlas mediante los diagramas de Ferrers:

Particiones autoconjugadas de los primeros números enteros

Particiones autoconjugadas de los primeros números enteros

La teoría de particiones de números es de gran importancia en matemáticas y física (estudio de polinomios simétricos, grupo simétrico, teoría de representación de grupos, etc.).

La función de partición p(n) representa el número p de posibles particiones del entero n: por ejemplo,  p(4) = 5.  El valor de p(n) crece muy rápidamente con el valor de n. Matemáticos de la talla de Godfrey Harold Hardy (1877-1947) y Srinivasa Ramanujan (1887-1920)  trabajaron en este tema: en 1918 –y de forma independiente por J. V. Uspensky en 1920– obtuvieron la siguiente fórmula asintótica:

p(n) \sim \frac {\exp \left( \pi \sqrt {2n/3}\right) } {4n\sqrt{3}} \mbox { cuando } n\rightarrow \infty.

La obra de teatro Partition de Ira Hauptman trata precisamente de estos dos genios de las matemáticas, de la teoría de particiones y de todo lo que les unía y separaba..

Más información:

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