El problema de Suslin

El matemático Mikhail Yakovlevich Suslin (1894-1919) nació un 15 de noviembre.

Su nombre está fundamentalmente asociado al llamado problema de Suslin [M. Suslin,  Problème 3, Fundamenta Mathematicae 1 (1920) 223], una cuestión relativa a conjuntos totalmente ordenados e independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel.

Puede enunciarse del modo siguiente: sea (R,≤) un conjunto totalmente ordenado (no vacío) cumpliendo las siguientes cuatro propiedades:

1. R no posee ni primer ni último elementos;
2. el orden ≤ de R es denso, es decir, entre dos elementos cualesquiera de R existe otro;
3. el orden ≤ de R is completo, es decir, todo subconjunto no vacío y acotado tiene supremo e ínfimo;
4. toda familia de intervalos abiertos (no vacíos) disjuntos en R is contable –condición de cadena contable para la topología del orden sobre R–.

Suslin se pregunta: ¿Es R isomorfo (como conjunto ordenado) a la recta real (R,≤)?

Se sabe que si la propiedad 4. se sustituye por:

5. R es separable con la topología del orden, es decir, R contiene un subconjunto denso y contable;

la respuesta a la pregunta es positiva: lo demostró Georg Cantor.

Suslin realizó grandes contribuciones a la teoría de conjuntos analíticos, de hecho, siendo estudiante de Nikolai Nikolaevich Luzin, en 1917, encontró un error en un argumento de Henri Lebesgue, que pensaba haber demostrado que la proyección de todo conjunto de Borel del plano –es decir, los conjuntos analíticos– sobre el eje real era también un conjunto de Borel.

Más información:

• Wikipedia
• Mikhail Yakovlevich Suslin, MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
• Suslin problem, Encyclopedia of Mathematics
• Suslin hypothesis, Encyclopedia of Mathematics
• S. Tennenbaum, Souslin problem, Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 59(1) (1968) 60-63