15 POCO = MUCHO

Este juego matemático –un cryptarithm– de Bob High, aparece en el número de Septiembre/Octubre 2014 de la revista MIT Technology Review.

Si cada letra representa un dígito diferente, ¿qué suma está encriptada aquí?

La suma de 15 ‘POCO’ es ‘MUCHO’…  tiene sentido: se trata de buscar el valor de POCO y de MUCHO.

La anterior suma puede plantearse del modo (*):

15(P10³+O10²+C10+O) = M10⁴+U10³+C10²+H10+O.

La primera parte de la igualdad (*) puede reescribirse del modo (descomponiendo 15 como 10+5):

15(P10³+O10²+C10+O) =

= P10⁴+O10³+C10²+O10 + 5P10³+5O10²+5C10+5O.

En (*), el dígito de las unidades en ambos lados debe de coincidir, es decir, 5O=A10+O, de lo que se deduce que 4O=A10, y por lo tanto es necesariamente O=5.

Sustituyendo en (*) el valor de O=5 y simplificando (los dos términos C10² desaparecen de ambos miembros de la igualdad), se obtiene la ecuación (**):

P10⁴+5×10³+5P10³+25×10²+5C10+70 = M10⁴+U10³+H10.

Como en la parte derecha de la ecuación no hay términos en 10², debe suceder lo mismo con la parte izquierda de la igualdad. Ese término, en la parte izquierda, debe proceder necesariamente de la suma 25×10²+5C10+70 = 2.500+50C+70. Basta con sustituir todos los posibles valores de C, para comprobar que el único caso en el que 2.500+50C+70 no tenga término en 10² es que C=9 (2.500+50C+70=3.020), y entonces, sustituyendo y simplificando (**)  se transforma en (***) :

P10⁴+5×10³+5P10³+3.020 = M10⁴+U10³+H10,

con lo que H=2, y queda la ecuación (****) :

P10⁴+8×10³+5P10³ = M10⁴+U10³.

Sustituyendo todos los posibles valores de P en (****) , se observa que P=4 (por ejemplo, si P=1 sería M=2, que no es posible, pues H=2 y los dígitos son todos diferentes). Así, queda (*****):

68.000 = M10⁴+U10³,

con lo que M=6 y U=8.

Luego POCO = 4.595 y MUCHO = 68.925.

Visto en A Bit of Spanish, Futility Closet, 7 enero 2015