Percy John Heawood y el teorema de los cuatro colores

El matemático Percy John Heawood (1861-1955) falleció un 24 de enero.

Consagró lo esencial de sus trabajos matemáticos al teorema de los cuatro colores, y probó [Map Colour Theorem, Quarterly Journal of Mathematics 24 (1890) 332-338] que la demostración de este teorema dada por Alfred Kempe (1849-1922) era falsa. La prueba de Kempe [On the Geographical Problem of Four-Colors, Amer. J. Math. 2 (1879) 193-200] había sido dada como válida durante 11 años; así el teorema volvió a ser una conjetura.

De todos modos, Heawood demostró que la parte correcta de la prueba de Kempe permitía establecer el teorema de los cinco colores (todo mapa plano puede colorearse con cinco colores como mucho, de manera que dos países contiguos no compartan color)… el de los cuatro colores tuvo que esperar hasta 1976, a la demostración dada por Kenneth Appel (1932-2013) y Wolfgang Haken (1928-).

La prueba de Kempe del teorema de los cuatro colores consistía esencialmente en un sistema de recoloreado basado en una técnica original llamada cadenas de Kempe; Heawood mostró que era incorrecta en los casos de algunos mapas con cinco fronteras, dando un contraejemplo.

Heawood se interesó por el problema del coloreado de mapas sobre superficies diferentes del plano o la esfera, y demostró (en el artículo de 1890) que se puede colorear un mapa sobre un n-toro con, como mucho, γ (n) colores, donde:

siendo ⌊x⌋ la parte entera de x. Este resultado se deriva de la fórmula de Euler para n-toros.

Toro (con un agujero), 2-toro y 3-toro

La demostración de Heawood no garantizaba que γ(n) fuera el menor número necesario para colorear el mapa: la conjetura de Heawood fue demostrada por Gerhard Ringel (1919-2008) y J.W.T. Youngs (1910-1970) en 1968 [Solution of the Heawood Map-Coloring Problem, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 60, 438-445], es decir, demostraron que γ(n) es el número exacto, no sólo un máximo.

El también matemático Gabriel Andrew Dirac (1925-1984) describía a Heawood de este modo en su obituario [Percy John Heawood, Journal of the London Mathematical Society 38 (1963) 263-277]:

In his appearance, manners and habits of thought, Heawood was an extravagantly unusual man. He had an immense moustache and a meagre, slightly stooping figure. He usually wore an Inverness cape of strange pattern and manifest antiquity, and carried an ancient handbag. His walk was delicate and hasty, and he was often accompanied by a dog, which was admitted to his lectures. … His transparent sincerity, piety and goodness of heart, and his eccentricity and extraordinary blend of naiveté and shrewdness secured for him not only the fascinated interest, but also the regard and respect of his colleagues.

Más información:

• Percy John Heawood, MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University
• Marta Macho Stadler, ¿Cuatro colores son suficientes?, Un paseo por la Geometría 2004/2005 (BI-2868/05), 97 – 114, 2005
• Marta Macho Stadler, El teorema de los cuatro colores, Las matemáticas en la vida cotidiana: Sociedad y cultura, Museo Arte e Historia de Durango, 2011

Esta entrada participa en la edición5.X: Sofia Kovalévskaya del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews.