El problema de Freudenthal

El problema de Freudenthal apareció publicado por primera vez en 1969, en la revista Nieuw Archief voor Wiskunde, en la que el matemático Hans Freudenthal (1905-1990) era el redactor de la sección de ‘problemas’.

problema

Copia de la publicación original, problema No. 223, en [1].

El problema –con la redacción adaptada, pero sin cambiar la parte matemática– dice lo siguiente:

Jesús, María y José son tres amigos. Jesús elige dos números enteros x e y, donde 1 < xy, y x + y ≤ 100.

Jesús dice a María el resultado del producto P = xy y a José le informa del valor de la suma S = x+y.

A continuación tiene lugar el siguiente diálogo:

  1. María: Desconozco los valores de x e y. 
  2. José: Ya sabía que te era imposible saber los valores de x e y.
  3. María: Bien, ahora, ya conozco x e y.
  4. José:  Bien, ahora yo también sé sus valores.

¿Quiénes son x e y?

Hans Freudenthal

Hans Freudenthal

En [2], se discuten varias de las soluciones propuestas –muchas de ellas de conocidas personas del ámbito matemático– y se da el resultado: x = 4 e y = 13.

¿Cómo se ha llegado a ello? Reproduzco el argumento utilizado (extraído de [3]) para su resolución, aunque es preciso realizar algunos cálculos (sencillos, pero largos) para llegar a ello.

A priori, hay muchos pares de números enteros que cumplen las condiciones dadas en el enunciado. Pero la frase 1. de María permite eliminar algunos (los que sólo pueden escribirse de una única manera como un producto xy). Las frases 2., 3. y 4. permiten eliminar sucesivamente todos los demás pares posibles, excepto uno de ellos.

 Vamos a ir razonando poco a poco.

(i) María conoce el producto P = xy, pero no sabe los valores de x y de y. Eso significa que el número P pose varias posibles descomposiciones. Este es el caso, por ejemplo de 12 = 2×6 = 3×4, 18 = 2×9 = 3×6, y tantos otros.

Si se pasa revista a todos los posibles productos, existen 574 productos ambiguos, es decir, que pueden descomponerse de al menos dos maneras diferentes. Llamemos P1 al conjunto de estos números ambiguos: el primero es 12 y el último es 2400 (2400 = 40×60 = 48×50):

 P1  = {12, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 52, 54, 56, 60, 63, 64, 66, 68, 70, 72, 75, 76, 78, 80, 84, 88, 90, 92, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 110, 112, 114, 116, 117, 120, 124, 126, 128, 130, 132, 135, 136, 138, 140, 144, 147, 148, 150, 152, 153, 154, 156, 160, 162, 164, 165, 168, 170, 171, 172, 174, 175, 176, 180, 182, 184, 186, 188, 189, 190, 192, 195, 196, 198, 200, 204, 207, 208, 210, 216, 220, 222, 224, 225, 228, 230, 231, 232, 234, 238, 240, 243, 245, 246, 248, 250, 252, 255, 256, 258, 260, 261, 264, 266, 270, 272, 273, 275, 276, 279, 280, 282, 285, 286, 288, 290, 294, 296, 297, 300, 304, 306, 308, 310, 312, 315, 320, 322, 324, 325, 328, 330, 336, 340, 342, 344, 345, 348, 350, 351, 352, 357, 360, 364, 368, 370, 372, 374, 375, 376, 378, 380, 384, 385, 390, 392, 396, 399, 400, 405, 406, 408, 410, 414, 416, 418, 420, 425, 429, 430, 432, 434, 435, 440, 441, 442, 444, 448, 450, 455, 456, 459, 460, 462, 464, 465, 468, 470, 475, 476, 480, 483, 486, 490, 492, 494, 495, 496, 500, 504, 506, 510, 512, 513, 516, 518, 520, 522, 525, 528, 532, 539, 540, 544, 546, 550, 552, 558, 560, 561, 564, 567, 570, 572, 574, 576, 580, 585, 588, 592, 594, 595, 598, 600, 602, 608, 609, 612, 616, 620, 621, 624, 627, 630, 637, 638, 640, 644, 646, 648, 650, 651, 656, 660, 663, 666, 672, 675, 680, 682, 684, 688, 690, 693, 696, 700, 702, 704, 714, 715, 720, 726, 728, 735, 736, 738, 740, 741, 744, 748, 750, 754, 756, 759, 760, 765, 768, 770, 774, 780, 782, 783, 784, 792, 798, 800, 806, 810, 812, 814, 816, 819, 820, 825, 828, 832, 836, 840, 850, 855, 858, 860, 864, 868, 870, 874, 880, 882, 884, 888, 891, 896, 897, 900, 902, 910, 912, 918, 920, 924, 928, 930, 935, 936, 945, 946, 950, 952, 957, 960, 962, 966, 968, 969, 972, 975, 980, 984, 986, 988, 990, 992, 1000, 1008, 1012, 1014, 1020, 1026, 1032, 1035, 1036, 1040, 1044, 1050, 1053, 1054, 1056, 1064, 1066, 1071, 1078, 1080, 1088, 1092, 1100, 1102, 1104, 1105, 1110, 1116, 1118, 1120, 1122, 1125, 1131, 1134, 1140, 1144, 1148, 1150, 1152, 1155, 1160, 1170, 1173, 1176, 1178, 1184, 1188, 1190, 1196, 1197, 1200, 1204, 1215, 1216, 1218, 1224, 1230, 1232, 1240, 1242, 1248, 1254, 1258, 1260, 1275, 1276, 1280, 1288, 1292, 1296, 1300, 1302, 1311, 1312, 1320, 1323, 1326, 1330, 1332, 1334, 1344, 1350, 1360, 1364, 1365, 1368, 1377, 1380, 1386, 1392, 1394, 1400, 1404, 1406, 1408, 1425, 1426, 1428, 1430, 1440, 1449, 1450, 1452, 1456, 1458, 1470, 1472, 1476, 1480, 1482, 1485, 1488, 1496, 1500, 1508, 1512, 1518, 1520, 1530, 1536, 1539, 1540, 1550, 1554, 1560, 1564, 1566, 1568, 1575, 1584, 1596, 1600, 1610, 1612, 1617, 1620, 1624, 1628, 1632, 1638, 1650, 1656, 1664, 1672, 1674, 1680, 1700, 1702, 1710, 1716, 1725, 1728, 1736, 1740, 1748, 1750, 1755, 1760, 1764, 1768, 1776, 1782, 1792, 1794, 1798, 1800, 1820, 1824, 1836, 1848, 1850, 1856, 1860, 1872, 1890, 1904, 1914, 1920, 1924, 1932, 1938, 1944, 1950, 1960, 1972, 1980, 1984, 2016, 2030, 2040, 2046, 2052, 2070, 2080, 2100, 2108, 2112, 2142, 2145, 2160, 2176, 2184, 2200, 2205, 2240,2244, 2268, 2280, 2340, 2352, 2400}.

(ii) José conoce la suma S = x+y. Como José dice: ‘Ya sabía que te era imposible saber los valores de x e y’, eso significa que, para todas las maneras de descomponer S como suma de dos enteros, S = 2+(S-2) = 3+(S-3),… todas dan un producto ambiguo, que es por lo tanto un elemento de P1 .

Ese es el caso, por ejemplo de 11 = 2+9 que tiene como producto 18, 11 = 3+8 de producto 24, 11 = 4+7 de producto 28, 11 = 5+6 de producto 30.

Estas sumas dan lugar al conjunto S1 = {11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}.

(iii) María dice que, con esa información, reconoce los valores de x e y. Eso significa que entre las muchas descomposiciones de P = xy que son un producto ambiguo, sólo una da una suma S = x+y que pertenece a S1. Por ejemplo, si María piensa en el producto 18 = 2×9 = 3×6, constata que sólo el par (2,9) tiene una suma perteneciente a S1.

Los productos ambiguos para los que sólo una descomposición pertenece a S1 describen un conjunto P2 que se reduce a 86 elementos en vez de los 574 que contenía P1:

P2 = {18, 24, 28, 50, 52, 76, …,702}.

(iv) José dice que también conoce los valores de los números elegidos por Jesús. Eso significa que entre las descomposiciones de la suma S = x+y, sólo una da como producto un elemento de P2. Por ejemplo, 11 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6, da como posibles productos 18, 24, 28 y 30, y dos de esos productos pertenecen a P2. En este caso, María no podría dar x e y.

Las sumas tales que una única descomposición da un producto perteneciente a P2 se reducen al número 17; en efecto: 17 = 2+15 = 3+14 = 4+13 = 5+12 = 6+11 = 7+10 = 8+9, cuyos productos son 30, 42, 52, 60, 66, 70 y 72, y sólo 52 está en P2 .

Por lo tanto, María (y nosotras y nosotros) sabe que x+y= 17 y que xy = 52, y por lo tanto, x = 4 e y = 13.

Visto en Le Blog d’ABC Maths

Más información:

[1] H. Freudenthal, Nieuw Archief Voor Wiskunde, Ser 3, 17 (1969) 152 (planteamiento del problema)

[2] H. Freudenthal, Nieuw Archief Voor Wiskunde, Ser 3, 18 (1970) 102-106 (solucón del problema)

[3] Hans Freudenthal, Wikipedia (en francés)

[4] Sum and Product Puzzle, Wikipedia

[5] Jean-Paul Delahaye, L’incroyable problème de Freudenthal, Interstices, 2008

[6] Hans van Ditmarsch, Jan van Eijck, and L.C. Verbrugge, Publieke Werken Freudenthal’s Som-en-productraadsel, NAW 5/10 nr. 2 juni 2009, 126-131

1 Response to “El problema de Freudenthal”


  1. 1 Marta MS 17/09/2015 a las 19:20

    Reblogueó esto en Martams's Blogy comentado:

    El matemático Hans Freudenthal (1905-1990) nació un 17 de septiembre

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