Entendiendo la fibración de Hopf

La fibración de Hopf es una manera de describir la esfera de dimensión 3 (es decir, los puntos que equidistan de un punto dado en el espacio de cuatro dimensiones) mediante circunferencias y una esfera de dimensión 2.

Hopf Fibration de Henry Segerman

Fibración de Hopf de Henry Segerman

El anterior dibujo es una preciosa visualización de la fibración de Hopf (vista en Neatorama).

Pero empecemos por el principio… es decir, por la topología: la esfera (unidad) de dimensión 3 se define como el subespacio del plano complejo formado por los puntos cuya suma de módulos es 1:

hopf1

La 3-esfera se puede conseguir también pegando dos toros sólidos. En efecto, consideremos:

hopf2y

hopf6Claramente,hopf7

¿Por qué son toros sólidos? Porque la siguiente función es un homeomorfismo (puede probarse lo análogo con el otro subespacio de la esfera):

hopf8es decir, T1 es (homeomorfo a) el producto de una circunferencia y un disco de radio 1/2, o lo que es lo mismo, un toro sólido.

Observar que estos dos toros sólidos tienen como frontera común un toro; en efecto:

hopf10

que es homeomorfo a un producto de dos circunferencias, es decir, un toro.

Esta descripción permite considerar la esfera de dimensión 3 como el espacio de adjunción de dos toros sólidos a través de su frontera común: esta identificación se realiza a través de la aplicación que identifica meridianos con paralelos y paralelos con meridianos:

hopf11

De otra manera, hemos pegado T1 y T2 (que son homeomorfos a toros sólidos) a través del toro que comparten como frontera… si la función que identifica los toros frontera hubiera sido la aplicación identidad (que identifica meridianos con meridianos y paralelos con paralelos), el espacio resultante habría sido el producto de una 1-esfera por una 2-esfera.

El matemático Heinz Hopf (1894-1971) descubrió la fibración que lleva su nombre en 1931: descubrió, de hecho, una función continua de la esfera de dimensión 3 en la esfera de dimensión 2, en la que cada punto de la 2-esfera proviene de una circunferencia embebida en la 3-esfera. En matemáticas se suele decir que la 3-esfera es un fibrado (no trivial)  sobre la 2-esfera, con fibra una circunferencia. De manera intuitiva, se puede ver la esfera de dimensión 3 (que vive en un espacio real de dimensión 4) como una 2-esfera que en cada uno de sus puntos lleva pegada una 1-esfera.

No es fácil visualizar lo que estamos diciendo, porque estamos tabajando en dimensión 4…  pero estos dos videos de la magnífica serie Dimensiones pueden aclarar un poco la anterior construcción:

El matemático y artista Henry Segerman es el autor del precioso dibujo que abre esta entrada… y en este video muestra una escultura que representa la 3-esfera a través de la fibración de Hopf:

Esta entrada participa en la Edición 6.8 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog Gaussianos.

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