Pons Asinorum

Raúl Ibáñez Torres

Según el Diccionario de la Real Academia Española la expresión Puente de los Asnos, Pons Asinorum, hace referencia a la “dificultad que se encuentra en una ciencia u otra cosa, y quita el ánimo para pasar adelante”, aunque esta expresión se suele utilizar generalmente para referirse a una prueba o test elemental de conocimiento, o de habilidad, que si no es superada demuestra la falta de capacitación en esa materia, y no se puede pasar el puente (“¿¡porque se es un burro!?”) para seguir adentrándose en el desarrollo de ese conocimiento o habilidad. Por poner algún ejemplo… interpretar al violín la “partita Nº 2 BWV 1004” de Johann Sebastian Bach si se quiere ser un gran violinista o podríamos decir que explicar el teorema de Pitágoras para quien va a ser profesor de matemáticas…

Hay quienes (en particular, parece que en Francia es así) utilizan esta expresión precisamente para referirse al Teorema de Pitágoras, puesto que sería un conocimiento elemental en geometría, que se habría utilizado desde la Edad Media como prueba para evaluar los conocimientos matemáticos de estudiantes, pero sobre todo de quienes se iban a dedicar a la docencia. Su relación con este resultado matemático quedó reflejada por ejemplo en el siguiente fragmento de la novela de Julio Verne, De la Tierra a la Luna:

‑ ¡Hurra por Edgard Poe! ‑exclamó la asamblea, electriza­da por las palabras de su presidente.
‑ Ya he concluido ‑continuó Barbicane‑ con esas tenta­tivas que calificaré de puramente literarias y completamente in­suficientes para establecer relaciones serias con el as­tro de las noches. Sin embargo, debo añadir que algunos espíritus prácticos trataron de ponerse en comunica­ción seria con él. Así, hace algunos años un geómetra alemán propuso enviar una comisión de sabios a las estepas de Siberia. A11í, en vastas llanuras, debían establecer inmensas figuras geométricas, diseñadas mediante reflectores luminosos, entre otras el cuadrado de la hi­potenusa, vulgarmente llamado “el puente de los asnos” por los franceses. “Todo ser inteligente ‑decía el geómetra‑ debe comprender el destino científico de esa figura. Los sele­nitas, si existen, responderán con una figura semejante, y una vez establecida la comunicación, fácil será crear un alfabeto que permita conversar con los habitantes de la Luna.” Así hablaba el geómetra alemán, pero su proyecto no fue llevado a la práctica, y hasta ahora ningún lazo directo ha existido entre la Tierra y su satélite. Está reservado al genio práctico de los norteamericanos entrar en relación con el mundo sideral. El medio de conseguirlo es sencillo, fácil, seguro, infalible, y va a constituir el objeto de mi propuesta.

imagen1-1Sin embargo, la expresión Pons Asinorum o Puente de los Asnos no se refiere realmente al Teorema de Pitágoras, que es la Proposición 47 del libro Los Elementos de Euclides, sino a otra de sus proposiciones, la número 5, relacionada con los triángulos isósceles, que es de la que surge en realidad dicha expresión. En concreto, la Proposición 5 dice que: “los ángulos opuestos a los lados iguales de un triángulo isósceles, son también iguales”.

Según el filósofo griego Proclo (412-485), este resultado se debe a Tales de Mileto (s. VI a.n.e.), de cuya demostración solo conocemos lo comentado por el filósofo. Aunque no debía de ser la misma que se presenta en Los Elementos, ya que esta fue desarrollada por el propio Euclides, en opinión de muchos historiadores. Aristóteles (384-322 a.n.e.) y Pappus (290-350) también dieron otras demostraciones de ese resultado. Aunque, sin ninguna duda, la demostración más famosa y que dio lugar al término Pons Asinorum fue la que aparece en Los Elementos de Euclides.

Este resultado era conocido en las universidades de la Edad Media, como el Puente de los Asnos (en latín Pons Asinorum), ya que se consideraba que era el primer resultado avanzado en la enseñanza de las matemáticas y que marcaba un límite, a partir del cual no podían pasar ya los malos estudiantes. William Dunham, en su libro El universo de las matemáticas, dice que “Según la tradición, los ceporros –esto es, los burros- consideraban esta demostración insalvable, y por ello no podían cruzar el puente lógico y llegar a la tierra prometida de Los Elementos”. La proposición también se llamó “elefuga” (fuga miserorum), expresión que Roger Bacon (hacia 1250) explicó que significaba “el vuelo de los miserables”, porque era el punto en el que normalmente abandonaban la geometría. El nombre podría venir de que un triángulo isósceles se asemejaba a un puente (los antiguos puentes que estaban más elevados en el centro) y que a los burros, cuando iban con carga, les costaba pasar esos puentes, puesto que tenían que subir una pequeña inclinación.

Pero adentrémonos por un momento en las matemáticas del Pons Asinorum. Mostramos aquí precisamente la demostración de la Proposición 5 del Libro I de Los Elementos de Euclides, pero no la que aparece en el original, sino la que puede “disfrutarse” en la edición gráfica y coloreada (en diagramas tricolores, azul, rojo y amarillo, junto al negro) de Oliver Byrne de 1847. Toda una joya de las matemáticas, toda una obra de arte…

imagen-2

Y para terminar esta anotación en el Cuaderno, volvamos a la literatura. En la obra Trópico de Capricornio, de Henry Miller, puede encontrarse también una alusión al Pons Asinorum (y que descubrí en esta página):

Todo muchacho de escuela sabe que el Pons Asinorum no debe ser cruzado más que por dos burros blancos conducidos por un ciego. No sé por que sea así, pero es la regla dictada por el viejo Euclides. Era tanta la ciencia del viejo pajarraco, que un día – supongo que únicamente por divertirse – construyó un puente que que no podría cruzar nunca mortal alguno. Le dio el nombre de Pons Asinorum porque era dueño de un par de hermosos burros blancos, y les tenía tal cariño a esos burros que no permitiría que nadie se apoderara de ellos. Por eso conjuró un sueño en el que él, el ciego, llevaría un día los burros por el puente y pasaría a los felices cotos de caza de los burros.

Pero una cita que me gusta mucho es esta de la obra Odile del escritor francés Raymond Queneau:

— No, en absoluto. Hay un ejemplo que sale en todas partes, el de las ecuaciones algebraicas con una incógnita.
— Las ecuaciones, puah – dijo Saxel.
— ¡Ah, ah! – me burlé – veo que es usted uno de esos, camarero un quinto, que se jactan de no tener ni idea de matemáticas y están orgullosos de no haber sabido cruzar el puente de los burros.
— Por la cuenta que me trae – dijo Saxel.
— ¿No lo lamenta?
— ¿Debería lamentarlo?
— Por supuesto. ¿Qué satisfacción puede sacar uno de no entender algo?
— Bueno, entonces volvamos a las ecuaciones.

Vemos que Raymond Queneau utiliza la expresión “puente de los burros” con un significado muy cercano al origen de la expresión.

-oOo-

El artículo Pons Asinorum de Raúl Ibáñez Torres (Departamento de Matemáticas, ZTF-FCT) se publicó en el blog Cuaderno de Cultura Científica el 5 de junio de 2013.

Agradecemos a la Cátedra de Cultura Científica el permitirnos su reproducción en ZTFNews.

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