Impar en el centro

El siguiente problema fue propuesto por Charles W. Trigg en 1970, en uno de los volúmenes del Pi Mu Epsilon Journal.

En un cuadrado con 3 x 3 casillas pueden colocarse los números del 1 al 9 de manera que en ninguna columna, fila o diagonal aparezcan en orden de magnitud. Puede verse un ejemplo a la derecha.

Demostrar que el dígito que ocupa la casilla central debe de ser impar.

Vamos a dar la prueba aunque, si quieres pensarlo un momento antes, no mires las siguientes líneas…

Tenemos una fila, una columna y dos diagonales que atraviesan la casilla central. Para cumplir con el requisito impuesto en el enunciado, deben organizarse los ocho dígitos restantes de manera que ninguna de estas cuatro ternas de números esté colocada en orden creciente o decreciente. Es decir, en cada una de estas cuatro ternas, el dígito central debe ser el número mayor o menor de los tres.

Para conseguir este propósito, debe completarse cada terna que cruza la casilla central agregando dos dígitos menores o dos mayores (simultáneamente) que el central.

Argumentemos ahora por reducción al absurdo. Si el dígito central c fuera par, tendríamos c-1 números menores que c y 9-c mayores que c. Pero, tanto c-1 como 9-c son números impares. Por lo tanto, al menos una de las cuatro ternas que cruzan la diagonal debe completarse tomando un número menor y otro mayor que c, en contra de lo pedido…

Visto en: Odd at Heart, Futility Closet, 20 diciembre 2018