Un juego de lógica sobre plinks, plonks y plunks

Supongamos que estudiamos los conjuntos formados por los plinks, los plonks y los plunks.

Nos dan la siguiente información: todos los plinks son plonks y algunos plunks son plinks. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

A. Todos los plinks son plunks.

B. Algunos plonks son plunks.

C. Algunos plinks no son plunks.

Para solucionar este problema, recurrimos a un diagrama de Venn que representa los tres conjuntos –el de los plinks, el de los plonks y el de los plunks— en el que aparecen numeradas las distintas regiones del diagrama:

• 1 es el conjunto de los que son plinks, pero no son ni plonks ni plunks.
• 2 es el conjunto de los que son plonks, pero no son ni plinks ni plunks.
• 3 es el conjunto de los que son plunks, pero no son ni plinks ni plonks.
• 4 es el conjunto de los que son plinks y plonks, pero no son plunks.
• 5 es el conjunto de los que son plonks y plunks, pero no son plinks.
• 6 es el conjunto de los que son plinks y plunks, pero no son plonks.
• 7 es el conjunto de los que son plinks, plonks y plunks a la vez

Vamos a pensar en la información que se proporciona. Como todos los plinks son plonks, es claro que no puede haber nadie en las zonas 1 y 6.

Además, como algunos plunks son plinks, la unión de las regiones 6 y 7 no puede ser vacía; como la zona 6 no tiene elementos, la 7 es necesariamente no vacía.

Analicemos ahora las tres afirmaciones posteriores.

A. Todos los plinks son plunks.

La afirmación A implica que las regiones 1 y 4 están vacías. La región 1, efectivamente, no posee elementos. Pero, de momento, no sabemos nada sobre la región 4, por lo que no podemos decir si esta afirmación es cierta.

B. Algunos plonks son plunks.

La declaración B dice que la unión de las regiones 5 y 7 no puede ser vacía. Ya sabemos que la región 7 no está vacía, por lo que esta afirmación es cierta.

C. Algunos plinks no son plunks.

La afirmación C implica que la unión de las regiones 1 y 4 debe ser no vacía. Sabemos que la zona 1 no posee elementos, pero desconocemos lo que sucede la región 4, por lo que no podemos concluir si esta afirmación es cierta o falsa.

Por tanto, con los datos que tenemos, la única afirmación que con toda seguridad es verdadera es la B.

Para que A fuera cierta, la zona 4 no debería tener elementos. Y para que C fuera cierta, esta región 4 debería ser no vacía. Así que una, y solo una, de las dos es verdadera; pero no sabemos cual es.

Nota: Comenta Idoia Ordorika en Facebook que si «todos los plinks son plonks«, el diagrama de Venn está mal. En realidad no lo está, porque las zonas indicadas pueden ser vacías, como de hecho sucede y se indica. De cualquier modo, como esa afirmación inicial implica que el conjunto de los plinks está contenido en el de los plonks, podría haberse partido del diagrama de Venn que se indica a continuación y razonar como lo hemos hecho. Aunque desconocemos si alguna de las zonas numeradas podría ser vacía…

Gracias, Idoia, por el comentario.

Visto en: Euphony, Futility Closet, 27 octubre 2020