La dimensión fractal del brócoli |

El otro día escuché en la radio -no recuerdo que programa era, estaban haciendo alguna encuesta en la calle- a alguien decir algo parecido a esto:

El brócoli y las matemáticas me gustan lo mismo ¡NADA!

… ¡con lo rico que es el brócoli y lo bonitas que son las matemáticas!

Incluso se pueden hacer matemáticas con esta verdura… Por ejemplo, ¿sabes cuál es la dimensión fractal del brócoli?

Pero, ¿qué es un fractal? Dicho de manera sencilla, es un objeto autosemejante, es decir, cuya estructura se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot, y viene del latín fractus, es decir, fracturado.

La alfombra de Sierpinski

El recientemente fallecido matemático publicó en 1967 el artículo How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension [Science: 156, 1967, 636-638, pdf], donde comentaba como la medida de una costa -como la de Gran Bretaña, muy escarpada- dependía de la escala utilizada: si la regla de medir disminuye, aparecen cada vez detalles más finos que antes pasaban desapercibidos. Mandelbrot introdujo así el concepto de curva autosimilar, cuya dimensión no es ya entera, sino un valor entre 1 y 2: hay más detalles en una línea costera abrupta de los que se pueden medir con una sola dimensión. Éste es un ejemplo de curva fractal.

El conjunto de Mandelbrot, el de Cantor, el de Julia, la curva de Koch, la de Peano, la del dragón, la alfombra de Sierpinski, la esponja de Menger, etc. son ejemplos de fractales que aparecen en el ámbito matemático.

Pero los fractales también abundan en la naturaleza: la nubes, las redes neuronales, los helechos, las ramas de los árboles, la coliflor, las cadenas montañosas, las coníferas… o el brócoli son ejemplos de fractales.

¿Y qué es la dimensión fractal de un objeto? En la referencia [1] se explica con detalle y rigor. Pero, intuitivamente, si volvemos al ejemplo de la costa, vista desde lejos su medida es menor que al acercarse; a pequeña escala, cada guijarro, cada pequeña desviación provocan un aumento de la medida del objeto. Aunque podría pensarse al principio que su dimensión es 1 -la curva determinada por la línea costera-, en realidad es un poco mayor, pero menor que 2 porque no rellena el espacio del mismo modo que lo hace una superficie. Cada costa tiene una dimensión fractal entre 1 y 2, dependiendo de lo escarpada que sea… cuanto más irregular, mayor será su medida.

Del mismo modo, el brócoli, que a priori parece que tiene dimensión tres -es un objeto que vive en nuestro espacio tridimensional y tiene un volúmen no nulo- tiene dimensión fractal entre 2,6 y 2,7… y dos estudios independientes lo corroboran (ver [2] y [3])…