El toro visto por Villarceau

La fotografía de debajo fue tomada por Michèle Audin en el Musée de l’Oeuvre Notre-Dame (Estrasburgo, Francia). Se trata de la magnífica escalera de caracol -diseñada en 1580 por el arquitecto Thomas Uhlberger- que da acceso a la primera planta del museo, en la que se observa una piedra tallada con forma de toro -me refiero a la superficie geométrica, no al animal- en la parte superior de las escaleras.

Musée de l'Oeuvre Notre-Dame, Estrasburgo (Francia). Foto realizada por Michèle Audin

Este toro es horizontal -paralelo al suelo-y dibujados sobre él se observan tres círculos enlazados sobre la superficie…

Imagen tomada de: Marcel Berger, "Analyse de 'Les sections circulaires du tore'", Bibnum, 25 de marzo de 2010

¿Y qué tienen de especial estos círculos? Empecemos por el principio…
Sobre la superficie de un toro se pueden dibujar cuatro círculos pasando por un  punto arbitrario: uno está en el plano del toro -es un paralelo-, el segundo es perpendicular -es un meridiano- y los otros dos se conocen como los círculos Villarceau.

Antoine-Joseph Yvon Villarceau (1813-1883) fue un astrónomo francés que en 1848 observó -nota a M. Babinet en Comptes-rendus de l’Académie des sciences 27, pág. 246, 1848- que intersecando el toro por un plano pasando por el centro del toro y al mismo tiempo tangente a la superficie, se obtenían dos círculos iguales que se cortaban en los dos puntos de contacto:
Debajo puede verse una animación donde se observa como se realiza este corte.

Estos círculos están enlazados. Además, cada uno de ellos es una loxodrómica del toro; recordar que sobre una superficie de revolución -como el toro- una loxodrómica es una curva que corta todos los meridianos-y por lo tanto también todos los paralelos- bajo un ángulo constante.

El geómetra Marcel Berger realiza un completo análisis sobre los círculos de Villarceau en el repositorio Bibnum, que -según muestra la imagen del Musée de l’Oeuvre Notre-Dame- ya eran conocidos varios siglos antes de que naciera Villarceau.

Juan Monterde (Universidad de Valencia) impartió hace unos meses la conferencia Un geómetra en el estudio de un arquitecto en la biblioteca de Bidebarrieta de Bilbao. Allí -entre otros muchos temas- habló de los círculos de Villarceau. A finales de octubre, en el XVIII Encuentro de Topología realizado en la Universidad de Sevilla, María García Monera (Universidad Politécnica de Valencia) -colaboradora de Juan Monterde- presentó el póster Construcción del toro mediante círculos de Villarceau en el que proponía una construcción del toro a través de la sección que origina estos especiales círculos. Con el panel, explicaba parte del trabajo [María García Monera and Juan Monterde, Building a Torus with Villarceau Sections, Journal for Geometry and Graphics 15, no. 1, 93-99, 2011]. María tuvo la amabilidad de regalarme uno de los toros -que ahora ha pasado a adornar una de las paredes de mi despacho- de muestra que llevó al Encuentro.

Ibai, María y José Ignacio, en el XVIII Encuentro de Topología en Sevilla

De hecho, María ha sido más que amable, me ha enviado su póster y alguna imagen por si la necesitaba.

La parte interior al toro de cada uno de los círculos de Villarceau tiene forma de luna; usando estas dos lunas repetidamente se puede construir el toro.

El toro finalizado y dos de las piezas utilizadas en las que se ven los dos círculos de Villarceau (Marí­a Garcí­a Monera y Juan Monterde)

María y Juan han realizado diversos talleres en la Semana de la Ciencia de Valencia; las y los estudiantes han disfrutado construyendo el toro y otros modelos de superficies… ¡matemáticas divertidas para todos los públicos!

PD: Esta entrada participa en la Edición 2.8 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Ciencia Conjunta.

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