El arte de hacer una buena demostración

¿Cómo se realiza una buena demostración? Hay varias técnicas para lograrlo…

Prueba a través del ejemplo: Se demuestra el caso n=2 y se argumenta comentando que esta demostración contiene las ideas fundamentales de la prueba general.

Prueba por generalización: Funciona para 17, por lo tanto, funciona para todo número real.

Prueba por intimidación: Trivial.

Prueba por omisión: “Los otros 253 casos son análogos. El lector completará fácilmente los detalles”.

Prueba basada en el curso: “Por teoremas”. “Según el curso”.  “Por Lebesgue” (o cualquier otro matemático o matemática vale).

Prueba por oscurecimiento: Una sucesión larga e incoherente de afirmaciones sintácticamente próximas, todas ciertas y/o sin significado.

Prueba a través del cálculo: “Esta prueba requiere cálculos, así que pasamos a lo siguiente”.

Prueba por final de la conferencia: “Vista la hora que es, dejo la prueba de este teorema como ejercicio”.

Prueba por final de la conferencia (segundo método): “No tenemos el tiempo, pero a grosso modo, se estima el resto y ya está” (escrito deprisa y mal).

Prueba por pereza: Ofreciendo la tiza: “¿Alguien quiere venir a hacerlo?”.

Prueba por cita deseada: El autor o autora cita, para fundamentar sus afirmaciones, la negación, el recíproco o la generalización de un teorema de la literatura.

Prueba por financiación: “¿Cómo pordrían equivocarse tres agencias gubernamentales diferentes?”.

Prueba por consenso: “¿Todos de acuerdo?”.

Prueba por democracia: “Las personas que estén a favor, que levanten la mano”. Sólo se utiliza cuando la prueba por consenso es imposible.

Prueba por eminencia: “He visto a Stanley en el ascensor y me ha dicho que era cierto”.

Prueba a través de la cosmología: “La negación de la aserción es absurda o inimaginable”. Por ejemplo, se usa para probar que Dios existe o que los ordenadores no pueden pensar.

Prueba por comunicación personal: “Todo número par es la suma de dos números primos” [Wiles, comunicación personal].

Prueba por referencia a un discurso: “En el congreso de Ginebra, Wiles demostró que el problema de factorización de los números enteros era polinomial”.

Prueba por referencia inaccesible: El autor o autora cita un corolario simple de un teorema demostrado en los Proceedings de la Sociedad Filológica de Islandia (1883). Funciona aún mejor si el artículo nunca ha sido traducido del islandés.

Prueba por referencia fantasma: Nada con una relación aún lejana con el teorema citado aparece en la referencia dada. Se combina muy bien con la prueba por referencia inaccesible.

Prueba por referencia mutua: En la referencia A, el teorema 5 se sigue del teorema 3 de la referencia B, probado por el corolario 6.2 de la referencia C, que es una consecuencia trivial del teorema 5 de la referencia A.

Prueba por referencia perdida: “Sé que he visto la prueba en algún sitio, ¿pero dónde?”.

Prueba por referencia anticipada: La referencia es habitualmente de una persona próxima al autor o autora, que a menudo resulta ser menos próximo que lo que se cree.

Prueba por importancia: De la proposición en cuestión se deducen un gran número de corolarios útiles.

Prueba por insignificancia: “¿A quién le preocupa este resultado, de todos modos?”.

Prueba por desinterés: “¿Alguien quiere realmente ver esta prueba?”.

Prueba por testadurez: “No importa lo que podáis decir, este resultado es cierto”.

Prueba a través de la probabilidad: “Una investigación larga y minuciosa no ha proporcionado aún ningún contraejemplo”.

Prueba por procrastinación:  “La prueba es larga y difícil, así que la daremos en apéndice”.

Prueba por evitamiento: El límite de la prueba por procrastinación para T tendiendo hacia el infinito.

Prueba por distracción: Permite cambiar rápidamente un signo en la pizarra después de haber llamado la atención a la audiencia sobre algo que sucede en el fondo de la sala.

Prueba por definición:  “Definimos esto como verdadero”.

Prueba por tautología: “El teorema es cierto porque el teorema es cierto”.

Prueba por adoquinado: “Esta prueba es la misma que la anterior”.

Prueba a través de la ciencia ficción:  El teorema es manifiestamente falso para las matemáticas actuales, así que se construye un nuevo sistema lógico en el que el teorema es cierto.

Prueba a través de la metademostración: Se da un método para construir la prueba deseada. La validez del método se demuestra con alguna de las técnicas citadas aquí.

Prueba por dibujo:  Una forma más convincente que la prueba a través del ejemplo. Se combina bien con la prueba por omisión.

Prueba por grafismo: Una animación 3D multicolor convence a cualquiera de que tu algoritmo funciona. Vale la pena invertir en un buen mapa gráfico.

Prueba por elección de variable inteligente: “Sea A el número tal que esta prueba funciona”.

Prueba por grafo adaptado: Cualquier curva puede mostrar el resultado deseado tras la transformación conveniente de las variables y la escala de sus ejes. Es una demostración muy común en el trabajo experimental.

Prueba a través de la tiza invisible: “Ahora sólo falta integrar sobre el contorno en azul oscuro”.

Prueba por aserción vehemente: Es útil tener un poco de autoridad sobre la audiencia; es particularmete eficaz en una clase.

Prueba por repetición, alias prueba de Bellman: “Lo que digo tres veces es cierto”.

Prueba por llamada a la intuición: Son recomendables varios dibujos en forma de nubes.

Prueba por mezcla de aire: En una clase, seminario o taller funcionará muy bien el método de agitar vigorosamente los brazos.

Prueba por desplazamiento semántico: Para simplificar el enunciado de un resultado, se cambiar algunas definiciones estándar, pero un poco pesadas.

Prueba por notación sobrecargada: La más eficaz usa al menos cuatro alfabetos, símbolos especiales y la última versión de LaTEX.

Prueba por abstracción: Es una versión de la prueba por intimidación. El autor o autora usa términos y teoremas matemáticos avanzados, que tienen un aspecto impresionante pero cuya relación con el problema tratado es más bien anecdótica. Un poco de álgebra por aquí, algunos grupos de cohomología por allá, y ¿quién puede decir lo que has demostrado?

Prueba por reducción al mal problema:  “Para ver que este problema de coloración de un grafo en dimensión infinita es resoluble, nos reducimos al problema de la parada“.

Visto en: Bruno Winckler, Recueil de blagues mathématiques et autres curiosités, Ellipses, 2011

PD: Esta entrada participa en la Edición 3.1415 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Gaussianos.