El cuadrado mágico del papa León III

El papa León III (750-816) redactó hacia el año 795 un opúsculo titulado Enchiridion, una recopilación de oraciones, regalo del papa al emperador Carlomagno.

En este texto aparece un curioso cuadrado numérico, sin ningún comentario: es un cuadrado mágico de orden 9 y de constante mágica –suma de cada una de las 9 filas, de las 9 columnas o de las 2 diagonales– 369.

En muchas ediciones modernas del texto (por ejemplo, en la edición de 1660), este cuadrado se ha eliminado.

En Le Carré magique du Pape Léon III (Bibnum, septiembre de 2014), René Descombes –experto en cuadrados mágicos– realiza un exhaustivo análisis de las propiedades de este cuadrado papal. El artículo es extenso y precioso, sólo destaco debajo algunas de las propiedades:

1) La suma de los términos simétricos respecto al centro del cuadrado es constante e igual a  9² + 1 = 82  –la constante de polarización– y la casilla central es justo la mitad de esta constante 41.

2) Si se observan las diagonales paralelas a la primera diagonal –la que va de la esquina izquierda arriba  la esquina derecha abajo–, en una de cada dos sus términos son los de una progresión aritmética de razón 1. Sucede lo mismo para la otra diagonal (esta vez de razón 9); estas líneas están coloreadas en el dibujo de debajo:

Progresiones aritméticas

3) Las columnas poseen una cierta regularidad en la diferencia entre términos adyacentes (ver la página 5).

4) Se obtiene el número mágico 369 con muchas otras combinaciones de 9 números aparte de las  filas, columnas y diagonales (ver la página 6).

5) Es un cuadrado autocomplementario: cuando se reemplaza cada término de un cuadrado mágico de orden n por su complementario a n² + 1 (es decir, se reemplaza a_ij por n² + 1 – a_ij), se obtiene otro cuadrado mágico que se llama complementario del primero. En este caso (n=9) además, tras rotarlo 180 grados, este último se superpone con el cuadrado original (ver las páginas 7 y 8 del artículo).

6) El cuadrado papal está formado por 9 subcuadrados de orden 3, que poseen también sorprendentes propiedades (ver las páginas 8 y 9).

En el artículo se explica también un método simple para construir el cuadrado papal (ver las páginas 13 a 18) y algunas otras propiedades interesantes.

Como muy bien dice el autor, no hay nada misterioso ni mágico en este cuadrado, sólo una serie de propiedades muy interesantes… pero ¡muy, muy interesantes!