Los factoriones

No, no son seres extraños que vienen a invadirnos…

Un factorion es un número natural que coincide con la suma de los factoriales de sus dígitos decimales. Por ejemplo, 145 es un factorion porque:

1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145

¿Hay muchos factoriones? ¿Cuáles son?

Realmente hay muy poquitos ¡sólo 4!:

1! = 1

2! = 2

1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145

4! + 0! + 5!  + 8! + 5!= 24 + 1 + 120 + 40.320 + 120 = 40.585

¿Cómo se comprueba? Si n es un número natural con d dígitos y que además es un factorion, entonces se cumple claramente la siguiente desigualdad:

 10^{d − 1} ≤ n ≤ 9!d

Si  d ≥ 8, es 10^{d − 1} > 9!d , con lo que n puede tener como mucho 7  dígitos, es decir, n ≤ 9.999.999.

La suma máxima que puede obtenerse con los factoriales de los dígitos de un número de 7 dígitos es 9!7 = 2.540.160, es decir n ≤ 2.540.160.

Y con ayuda de un ordenador, y un poco de paciencia, basta con hacer las comprobaciones oportunas…

Más información:

• Cliff Pickover, The Loneliness of the Factorions, Applied Probability Trust, 1996
• http://oeis.org/A014080
• http://mathworld.wolfram.com/Factorion.html