Un problema de barriles de arroz

El Shu Shu Jiu Zhang –Tratado matemático en nueve secciones– fue escrito por Qin Jiushao en 1247, durante un período de auge de las matemáticas chinas.

Una página del «Shu Shu Jiu Zhang»
http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_Treatise_in_Nine_Sections

Cada uno de los nueve capítulos contiene a su vez nueve problemas; aquí se propone uno de ellos sobre restos extraído de [D. Daumas, M. Guillemot, O. Keller, R. Mizrahi, M. Spiesser, Un problème de voleurs par Ch’in Chiu-shao dans le Shu-shu chiu-chang, 1247, Un florilège de problèmes anciens, Le théorème des restes chinois, CultureMATH].

El planteamiento del problema es sencillo pero, para resolverlo, se requieren pequeños conocimientos de teoría de congruencias –los enlaces corresponden a los apuntes de la asignatura de Matemáticas Básicas que se imparte en el Grado de Matemáticas de la UPV/EHU–: en particular resultados y propiedades de congruencias lineales y el teorema chino de los restos.

El problema dice lo siguiente:

En una tienda de arroz, unos ladrones roban tres barriles de un cierto tipo de arroz. Estos barriles estaban llenos, pero su capacidad exacta no se conoce. Se localizan los tres barriles: en el primero queda 1 ko. En segundo, hay 1 shêng  y 4 ko, y en el último 1 ko. Se captura a los tres ladrones: el primero confiesa  haber metido su pala varias veces en el primer barril y haber vaciado el contenido en su saco; el segundo bandido afirma haberse quitado su zueco de madera para vaciar el segundo barril; el tercer ladrón admite haber usado un cuenco para meter en su saco el arroz del último tonel. No recuerdan las cantidades robadas, ya que se han comido todo el arroz en sus casas. Pero se sabe que la pala contiene 1 schêng y 9 ko, el zueco 1 schêng y 7 ko, y el cuenco 1 schêng y 2 ko. ¿Cuál es el volumen de arroz robado y cuánto arroz ha hurtado cada ladrón?

Nota 1: Sabemos que 10 kb equivalen a 1 schêng.

Nota 2: Se supone que todos los barriles tienen la misma capacidad –y que es un número entero–, que es precisamente la cantidad que se busca.

Gracias a la nota 1, sabemos que la  pala contiene 19 ko, el zueco 17 ko y el cuenco 12 ko. Teniendo en cuenta los restos de arroz en los barriles recuperados –1 ko, 14 ko y 1 ko, respectivamente–, se trata de resolver un sistema de congruencias lineales: es preciso encontrar N tal que

N ≡ 1 (mód 19)
N ≡ 14 (mód 17)
N ≡ 1 (mód 12)

Nota 3: Cuando escribimos N ≡ a (mód b), queremos decir que al dividir N por b, el resto de la división es a (a < b). Por ejemplo, la capacidad N de cualquiera de los tres barriles verifica que N ≡ 1 (mód 19), ya que usando x veces su pala –que llena contiene 19 ko de arroz–, el primer ladrón ha dejado un resto de 1 ko en el primer barril. Así, la capacidad total del barril es de N = 19 x + 1. Con la primera congruencia, buscamos ese x. Pero al mismo tiempo, el segundo bandido ha usado y veces su zueco –que lleno contiene 17 ko de arroz– para dejar un resto de 14 ko en el segundo barril, por lo que además N = 17 y + 14. Y por último, el tercer ladrón ha usado z veces su cuenco –que lleno contiene 12 ko de arroz– para dejar un resto de 1 ko en el tercer barril, por lo que también es  N = 12 z + 1. Buscamos un valor N que cumpla las tres condiciones a la vez.

Para resolver este sistema de congruencias lineales, es preciso aplicar el teorema chino de los restos, que garantiza que la solución es única, módulo 3876 (3876= 19 x 17 x 12): basta con encontrar la menor solución y el resto se obtendrían sumándole cualquier múltiplo de 3876.

Nota 4: La solución –la más pequeña– es que cada barril contiene un volumen de 3193 kb de arroz.

Esto significa que el primer ladrón ha usado su pala 168 veces y se ha llevado 3192 kb de arroz (x = 3193 – 1 / 19 = 168), el segundo su zueco 187 veces y se ha llevado 3179 kb de arroz (y = 3193 – 14 / 17 = 187) y el tercero 266 veces su cuenco y se ha llevado 3192 kb de arroz (z = 3193 – 1 / 12 = 266).

En este enlace se explica como se resuelve el sistema de congruencias.