En busca de la distancia perdida…

Tenemos cinco puntos dispuestos sobre la recta real: p₁ <  p₂ <  p₃ <  p₄ <  p₅. Las diez distancias entre esos pares de puntos, enumeradas de menor a mayor, son: 2, 4, 5, 7, 8, k, 13, 15, 17 y 19.

Se pide encontrar el valor de k.

Antes de leer la respuesta, ¡intenta resolverlo!

La distancia entre p₁ y p₅ es obviamente 19. Eso significa, claramente, que 19 es también la suma de cada uno de los tres pares de distancias intermedias, es decir:

1. (p₂ – p₁) + (p₅ – p₂) = 19,
2. (p₃ – p₁) + (p₅ – p₃) = 19 y
3. (p₄ – p₁) + (p₅ – p₄) = 19.

Observando el listado de distancias proporcionado en el enunciado del problema, los únicos pares de distancias que suman 19 son (2,17) y (4,15). Pero debe de haber otro par de tales números sumando esa cantidad. Como 8 < k < 13, ese tercer par debe ser (7,k) u (8,k), lo que implica que k = 12 ó 11, respectivamente.

La segunda mayor distancia es de 17, lo que significa que es p₅ – p₂ = 17 o p₄ – p₁ = 17. Analicemos cada caso por separado:

Si fuera p₅ – p₂ = 17, al igual que hemos razonado antes, la suma de los pares de distancias intermedias también debería ser de 17. Es decir:

1. (p₅ – p₃) + (p₃ – p₂) = 17,
2. (p₅ – p₄) + (p₄ – p₂) = 17.

Si fuera p₄ – p₁ = 17, tendríamos:

1. (p₄ – p₂) + (p₂ – p₁) = 17,
2. (p₄ – p₃) + (p₃ – p₁) = 17.

Uno de esos pares de distancias que suman 17 es (4,13) y el otro debe ser (5,k), (7,k) o (8,k). Es decir, k debe ser 12, 10 ó 9.

Teniendo en cuenta el razonamiento anterior se concluye que k = 12.

Nota

Visto en Fixing a Point, Futility Closet, 20 julio 2021

El anterior texto es una adaptación de la respuesta propuesta por el matemático Gustavo Krimker (Buenos Aires).