En busca de la distancia perdida…

Tenemos cinco puntos dispuestos sobre la recta real: p1 <  p2 <  p3 <  p4 <  p5. Las diez distancias entre esos pares de puntos, enumeradas de menor a mayor, son: 2, 4, 5, 7, 8, k, 13, 15, 17 y 19.

k

Se pide encontrar el valor de k.

Antes de leer la respuesta, ¡intenta resolverlo!

La distancia entre p1 y p5 es obviamente 19. Eso significa, claramente, que 19 es también la suma de cada uno de los tres pares de distancias intermedias, es decir:

  1. (p2 – p1) + (p5 – p2) = 19,
  2. (p3 – p1) + (p5 – p3) = 19 y
  3. (p4 – p1) + (p5 – p4) = 19.

Observando el listado de distancias proporcionado en el enunciado del problema, los únicos pares de distancias que suman 19 son (2,17) y (4,15). Pero debe de haber otro par de tales números sumando esa cantidad. Como 8 < k < 13, ese tercer par debe ser (7,k) u (8,k), lo que implica que k = 12 ó 11, respectivamente.

La segunda mayor distancia es de 17, lo que significa que es p5 – p2 = 17 o p4 – p1 = 17. Analicemos cada caso por separado:

Si fuera p5 – p2 = 17, al igual que hemos razonado antes, la suma de los pares de distancias intermedias también debería ser de 17. Es decir:

  1. (p5 – p3) + (p3 – p2) = 17,
  2. (p5 – p4) + (p4 – p2) = 17.

Si fuera p4 – p1 = 17, tendríamos:

  1. (p4 – p2) + (p2 – p1) = 17,
  2. (p4 – p3) + (p3 – p1) = 17.

Uno de esos pares de distancias que suman 17 es (4,13) y el otro debe ser (5,k), (7,k) o (8,k). Es decir, k debe ser 12, 10 ó 9.

Teniendo en cuenta el razonamiento anterior se concluye que k = 12.

Nota

Visto en Fixing a Point, Futility Closet, 20 julio 2021

El anterior texto es una adaptación de la respuesta propuesta por el matemático Gustavo Krimker (Buenos Aires).

1 Response to “En busca de la distancia perdida…”


  1. 1 Marta MS 21/07/2021 a las 09:18

    Reblogueó esto en Martams's Blogy comentado:

    En busca de la distancia perdida…

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