La oferta del diablo: ¿irá Cruella al infierno?

Cruella muere y va al infierno. El diablo le propone un juego al que sólo podrá jugar una vez. Si gana, irá al cielo, y si pierde arderá para siempre en el infierno.

Cruella sabe además que si juega este juego que le propone el diablo el primer día, tiene 1/2 de posibilidades de ganar, si apuesta el segundo tiene 2/3 de posibilidades de vencer, el tercer día 3/4, al cuarto 4/5, y así sucesivamente.

Obviamente, si permanece más días en el infierno antes de jugar, se incrementan sus posibilidades de ganar. La pregunta es: ¿cuál es el momento más razonable para que Cruella juegue?

La respuesta no es para nada obvia: como hemos comentado antes, tras cada día de espera, siempre puede incrementar sus posibilidades de éxito ya que:

n/(n+1) < (n+1)/(n+2).

Además, todo incremento en la probabilidad de ganancia de un juego con apuesta infinita tiene utilidad infinita^[1]. Por ejemplo, si espera un año para jugar, las posibilidades de ganar de Cruella son de

365/366=0,997268,

pero si espera un año y un día, sus posibilidades de ganar son de

366/367=0,997275,

es decir, se incrementan en 0,000007. Aún así, 0,000007 multiplicado por infinito es infinito…

Por otro lado, parece razonable asumir el coste por retrasarse un día en el juego como finito: se trata de un día más de sufrimiento en el infierno. Así, el supuesto beneficio infinito que supone un retraso en jugar excederá siempre ese coste… Esta lógica parece sugerir que Cruella debería esperar eternamente para jugar.

Pero, claramente, esta estrategia debe ser por la misma razón rechazada: ¿por qué quedarse para siempre en el infierno con la esperanza de incrementar la posibilidad de abandonarlo? Para hacer esto, ¿no sería mejor arriesgarse y jugar?

Notas:

[1] Una función de utilidad es una función real que mide la ‘satisfacción’ o ‘utilidad’ obtenida por un consumidor cuando disfruta –vía consumo– de cierta cantidad de bienes.

[2] Esta paradoja relacionada con un juego infinito ha sido extraída y adaptada de [Erickson, G.W.; Fossa, J.A. (1998): Dictionary of paradox, Univ. Press of America, Lanham (EE.UU.)]