Los números inversos de Fibonacci

Divide 1 entre

999.999.999.999.999.999.999.998.999.999.999.999.999.999.999.999,

y mira lo que se obtiene:

¿Te has fijado en que los dígitos no nulos de la expresión decimal de este cociente son términos (en orden) de la sucesión de Fibonacci?

En la anterior tabla, los decimales están ordenados en bloques de 24 dígitos. Los últimos dígitos que aparecen en cada una de estos bloques son los términos de la serie de Fibonacci hasta el 116⁰:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 43349443, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049, 12586269025, 20365011074, 32951280099, 53316291173, 86267571272, 139583862445, 225851433717, 365435296162, 591286729879, 956722026041, 1548008755920, 2504730781961, 4052739537881, 6557470319842, 10610209857723, 17167680177565, 27777890035288, 44945570212853, 72723460248141, 117669030460994, 190392490709135, 308061521170129, 498454011879264, 806515533049393, 1304969544928657, 2111485077978050, 3416454622906707, 5527939700884757,  8944394323791464, 14472334024676221, 23416728348467685, 37889062373143906, 61305790721611591, 99194853094755497, 160500643816367088, 259695496911122585, 420196140727489673, 679891637638612258, 1100087778366101931, 1779979416004714189, 2880067194370816120, 4660046610375530309, 7540113804746346429, 12200160415121876738, 19740274219868223167, 1940434634990099905, 51680708854858323072, 83621143489848422977, 135301852344706746049, 218922995834555169026, 354224848179261915075, 573147844013817084101, 927372692193078999176, 1500520536206896083277, 2427893228399975082453, 3928413764606871165730, 6356306993006846248183, 10284720757613717413913, 16641027750620563662096, 26925748508234281076009, 43566776258854844738105, 70492524767089125814114, 114059301025943970552219, 184551825793033096366333, 298611126818977066918552, 483162952612010163284885.

Fíjate en las siguientes divisiones:

1. 1/89 = 0,011235…, es decir, en la expresión decimal (y en bloques de 1 número) aparecen los 6 primeros números de la sucesión de Fibonacci;
2. 1/9.899 = 0,0001010203050813213455…, es decir, en la expresión decimal (y en bloques de 2 números) aparecen los 11 primeros números de la sucesión de Fibonacci;
3. 1/998.999 = 0,000001001002003005008013021034055089144233377610…, es decir, en la expresión decimal (y en bloques de 3 números) aparecen los 16 primeros números de la sucesión de Fibonacci…

Los números 89, 9.899, 998.999, etc. (y por supuesto, el número 999.999.999.999.999.999.999.998.999.999.999.999.999.999.999.999), se llaman números inversos de Fibonacci.

Los términos de la sucesión de Fibonacci se definen usualmente como: f₀=0, f₁=1, y f_n+2=f_n+1+f_n (si n≥0). Pero también pueden definirse a través de la función generadora G(x)=x/(1-x-x²), que cuando se expande en potencias de x, posee como coeficientes los términos de la sucesión de Fibonacci:

Observa finalmente que:

1. G(1/10)=10/89,
2. G(1/100)=100/9899,
3. G(1/1000)=1000/998999,
4. y en general, G(1/10ⁿ)=10ⁿ/(10²ⁿ-10ⁿ-1).

Es decir, los números inversos de Fibonacci son justamente los de la forma

10²ⁿ–10ⁿ–1.

El divisor de la división propuesta al principio

999.999.999.999.999.999.999.998.999.999.999.999.999.999.999.999

corresponde a n=24.

Visto en Futility Closet