Los números inversos de Fibonacci

Divide 1 entre

999.999.999.999.999.999.999.998.999.999.999.999.999.999.999.999,

y mira lo que se obtiene:

2015-06-28-made-to-order1

¿Te has fijado en que los dígitos no nulos de la expresión decimal de este cociente son términos (en orden) de la sucesión de Fibonacci?

En la anterior tabla, los decimales están ordenados en bloques de 24 dígitos. Los últimos dígitos que aparecen en cada una de estos bloques son los términos de la serie de Fibonacci hasta el 1160:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 43349443, 701408733, 1134903170, 1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049, 12586269025, 20365011074, 32951280099, 53316291173, 86267571272, 139583862445, 225851433717, 365435296162, 591286729879, 956722026041, 1548008755920, 2504730781961, 4052739537881, 6557470319842, 10610209857723, 17167680177565, 27777890035288, 44945570212853, 72723460248141, 117669030460994, 190392490709135, 308061521170129, 498454011879264, 806515533049393, 1304969544928657, 2111485077978050, 3416454622906707, 5527939700884757,  8944394323791464, 14472334024676221, 23416728348467685, 37889062373143906, 61305790721611591, 99194853094755497, 160500643816367088, 259695496911122585, 420196140727489673, 679891637638612258, 1100087778366101931, 1779979416004714189, 2880067194370816120, 4660046610375530309, 7540113804746346429, 12200160415121876738, 19740274219868223167, 1940434634990099905, 51680708854858323072, 83621143489848422977, 135301852344706746049, 218922995834555169026, 354224848179261915075, 573147844013817084101, 927372692193078999176, 1500520536206896083277, 2427893228399975082453, 3928413764606871165730, 6356306993006846248183, 10284720757613717413913, 16641027750620563662096, 26925748508234281076009, 43566776258854844738105, 70492524767089125814114, 114059301025943970552219, 184551825793033096366333, 298611126818977066918552, 483162952612010163284885.

Fíjate en las siguientes divisiones:

  1. 1/89 = 0,011235…, es decir, en la expresión decimal (y en bloques de 1 número) aparecen los 6 primeros números de la sucesión de Fibonacci;
  2. 1/9.899 = 0,0001010203050813213455…, es decir, en la expresión decimal (y en bloques de 2 números) aparecen los 11 primeros números de la sucesión de Fibonacci;
  3. 1/998.999 = 0,000001001002003005008013021034055089144233377610…, es decir, en la expresión decimal (y en bloques de 3 números) aparecen los 16 primeros números de la sucesión de Fibonacci…

Los números 89, 9.899, 998.999, etc. (y por supuesto, el número 999.999.999.999.999.999.999.998.999.999.999.999.999.999.999.999), se llaman números inversos de Fibonacci.

Los términos de la sucesión de Fibonacci se definen usualmente como: f0=0, f1=1, y fn+2=fn+1+fn (si n≥0). Pero también pueden definirse a través de la función generadora G(x)=x/(1-x-x2), que cuando se expande en potencias de x, posee como coeficientes los términos de la sucesión de Fibonacci:

5af51350fa41a2d4621defb385637a5e
Observa finalmente que:

  1. G(1/10)=10/89,
  2. G(1/100)=100/9899,
  3. G(1/1000)=1000/998999,
  4. y en general, G(1/10n)=10n/(102n-10n-1).

Es decir, los números inversos de Fibonacci son justamente los de la forma

102n10n1.

El divisor de la división propuesta al principio

999.999.999.999.999.999.999.998.999.999.999.999.999.999.999.999

corresponde a n=24.

Visto en Futility Closet

3 Responses to “Los números inversos de Fibonacci”


  1. 1 José Antonio Estupiñán 11/07/2015 a las 20:12

    Estimada Marta, que curioso este artículo que has puesto y la originalidad de obtener la serie de Fibonacci.
    ¿Para cuándo algo sobre Stanislaw Ulam? Creo que con tu estilo de contarlo hará las delicias de todos los que te seguimos.
    Saludos desde Las Palmas de GC

    Me gusta

  2. 2 Marta MS 11/07/2015 a las 20:18

    Bueno, eres un cielo… esto lo he encontrado, he buscado un poco,… he recopilado información. El mérito es de otros, sólo lo cuento.
    A ver si prontito puedo escribir algo: en topología algebraica suelo contar el teorema de Borsuk-Ulam😀

    Me gusta

  3. 3 Alex Carmona 12/07/2015 a las 20:06

    Eso me hace recordar que las matemáticas son increíbles!!! y más aun aquellas personas que logran aportar conocimientos interesantes como este.

    Me gusta


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