Frank, sus falsos amigos y los grafos de intervalos

Frank Einstein es un artista cuyas obras siempre tienen tornillos como protagonistas.

Frank junto a una de sus obras.

Expone en la Galería Shelley y desea que sus cuatro amigos más íntimos vayan a ver sus obras…, aunque ellos no le hacen demasiado caso.

Sin embargo, hoy le han llamado los cuatro para decirle que se han pasado por la galería, y durante aproximadamente una hora han estado admirando sus esculturas…

Una de las esculturas de Frank en la Galería Shelley.

… de hecho Bartolo se había ido cuando Adalberto llegó, pero ambos encontraron a Casandra y Dafne durante su visita. Las dos mujeres confirman haber encontrado a sus amigos en la Galería Shelley, aunque ellas no se han visto.

Frank, que proviene de una familia de ilustres científicas, es especialista en grafos de intervalos y enseguida se da cuenta de que ‘sus amigos’ le han mentido. ¿Cómo lo ha conseguido?

Representa la información que le han dado mediante un grafo, en el que cada vértice corresponde a un intervalo de tiempo (el tiempo que permaneció cada uno de los amigos en la galería) y una arista une dos vértices si los correspondientes intervalos temporales se cruzan. Etiqueta cada vértice con la inicial del nombre de sus amigos (A por Adalberto, B por Bartolo, C por Casandra y D por Dafne); dos vértices están unidos por una arista si sus colegas coincidieron en la galería de arte. Y obtiene el siguiente grafo de intervalos:

Este tipo de grafos fueron introducidos por el matemático György Hajós en 1957 y, entre otras muchas propiedades, poseen la siguiente:

Todo grafo de intervalos está triangulado, es decir, cada camino cerrado (camino de aristas que empieza y termina en el mismo vértice) de longitud mayor o igual que cuatro contiene al menos una cuerda (arista que une dos vértices de ese camino, pero que no forma parte de él).

¡Frank, decepcionado, ya no podrá nunca volver a confiar en sus amigos!

Esta entrada participa en la Edición 7.7 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organiza Los Matemáticos no son gente seria.