Una conjetura sobre números prácticos

Una fracción egipcia es la suma de fracciones unitarias distintas –como por ejemplo 1/2 + 1/3 + 1/12– es decir, cada fracción en la expresión tiene un numerador igual a 1 y un denominador que es un entero positivo, y todos ellos son diferentes.

El ojo de Horus (Udyat) contiene los símbolos jeroglíficos de los primeros números racionales
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Oudjat.SVG

Todo número racional positivo puede escribirse en fracción egipcia.

Un numero práctico [A.K. Srinivasan, Practical numbers, Current Science 17,179–180, 1948] es un número positivo n tal que todos los enteros positivos menores que él se pueden escribir como sumas de distintos divisores de n [ver el listado de los primeros en OEIS: A005153]. Por ejemplo, 12 es un número práctico, porque todos los números entre el 1 y el 11 pueden escribirse como sumas de los divisores de 12 –1, 2, 3, 4 y 6–:

1=1, 2=2, 3=3, 4=4, 5=3+2, 6=6, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+3+1 y 11=6+3+2.

Fibonacci usó estos números en su Liber Abaci (1202) al tratar el problema de escribir números racionales en fracción egipcia: no los definió de manera formal, pero dió una tabla de expansiones en fracción egipcia con denominadores números prácticos.

Aunque los números prácticos son altamente compuestos, tienen propiedades de densidad similares a las de los números primos. Y como en el caso de los números primos, el primero tiene una paridad diferente de todo el resto.

Con los números prácticos podemos realizar la misma operación que se hace con los primos al hablar de la conjetura de Gilbreath: se construye el triángulo cuya primera columna consiste en los números prácticos y el resto de los números se van construyendo tomando el valor absoluto de la diferencia de los dos números a su izquierda:

  1
  2 1
  4 2 1
  6 2 0 1
  8 2 0 0 1
 12 4 2 2 2 1
 16 4 0 2 0 2 1
 18 2 2 2 0 0 2 1
 20 2 0 2 0 0 0 2 1
 24 4 2 2 0 0 0 0 2 1
 28 4 0 2 0 0 0 0 0 2 1
 30 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 1
 32 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 1
 36 4 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1
 40 4 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1
 42 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1
 48 6 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1
 54 6 0 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1
 56 2 4 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 1
 60 4 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 2 1
 64 4 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 2 1
 66 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 2 1
 72 6 4 2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 1
 78 6 0 4 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 0 1
 80 2 4 4 0 2 0 2 0 0 0 2 0 2 0 2 0 0 0 2 0 2 0 0 1

Y al ir haciéndolo, se observa que en el lado derecho aparece siempre la cifra ‘1’.

Al igual que la conjetura de Gilbreath dice que la última cifra de esta construcción –al realizarla con la primera columna formada por primos– es siempre la cifra ‘1’, ¿no pasará lo mismo con los números prácticos? Así lo conjetura OxDE…

Visto en Math Fail

PD: Esta entrada participa en la edición 4.1 del Carnaval de Matemáticas cuyo blog anfitrión es Tito Eliatron Dixit.