El beso preciso del químico Frederick Soddy

Frederick Soddy (1877-1956) se dedicó –con éxito– a la química, las matemáticas, la economía… e incluso la poesía.

En 1921 recibió el Premio Nobel de Química por sus contribuciones al conocimiento de la química de las sustancias radiactivas y sus investigaciones sobre el origen y la naturaleza de los isótopos.

En ese año, Soddy dirigió sus intereses hacia la economía, a la que se dedicaría durante diez años: buscaba asentar los principios económicos de la física, en particular, de la termodinámica.

En 1936, publicó The bowl of integers and the hexlet [Nature 138, 958], en el que demostraba un teorema geométrico, acompañado de un poema, que se transcribe debajo –traducción extraída de [Martin Gardner, Circo Matemático, capítulo 3]–:

El beso preciso (Sir Frederic Soddy, 1937)

Pueden besarse los labios, dos a dos,
sin mucho calcular, sin trigonometría;
mas ¡ay! no sucede igual en geometría,
pues si cuatro círculos tangentes quieren ser
y besar cada uno a los otros tres,
para lograrlo habrán de estar los cuatro
o tres dentro de uno, o alguno
por otros tres a coro rodeado.
De estar uno entre tres, el caso es evidente
pues son todos besados desde afuera.
Y el caso tres en uno no es quimera,
al ser éste uno por tres veces besado internamente.

Cuatro círculos llegaron a besarse,
cuanto menores tanto más curvados,
y es su curvatura tan sólo la inversa
de la distancia desde el centro.
Aunque este enigma a Euclides asombrara,
ninguna regla empírica es necesaria:
al ser las rectas de nula curvatura
y ser las curvas cóncavas tomadas negativas,
la suma de cuadrados de las cuatro curvaturas
es igual a un medio del cuadrado de su suma.

Espiar de las esferas
los enredos amorosos
pudiérale al inquisidor
requerir cálculos tediosos,
pues siendo las esferas más corridas,
a más de un par de pares
una quinta entra en la movida.
Empero, siendo signos y ceros como antes
para besar cada una a las otras cuatro,
el cuadrado de la suma de las cinco curvaturas
ha de ser triple de la suma de sus cuadrados.

Es decir, el teorema de Soddy afirma que si tres círculos son tangentes exteriormente dos a dos, entonces existen otros dos círculos tangentes a esos tres, uno de ellos interiormente y el otro exteriormente. Si r₁, r₂ y r₃ son los radios de los círculos tangentes exteriormente dos a dos, y r₄ es el radio de uno de los dos círculos de Soddy, entonces se tiene que –esta parte ya era conocida, es el teorema de Descartes–:

2(1/r₁² + 1/r₂² + 1/r₃² + 1/r₄²)= (1/r₁ + 1/r₂ + 1/r₃ + 1/r₄)².

Esta relación proporciona dos posibles valores para r₄, la primera –la más pequeña– corresponde al caso en el que los cuatro círculos se tocan todos –se abrazan según Soddy– en el exterior, y el otro caso en el que el círculo de Soddy toca los otros tres interiormente –los encierra–.

En la última parte del poema, Soddy generaliza el teorema de Descartes al caso de cinco esferas: se habla del sexteto de Soddy, un collar de seis esferas, cada una tangente a sus dos vecinas más cercanas y a otras 3 esferas mutuamente tangentes. Dos de estas 3 esferas son tangentes entre sí y están inscritas en una gran esfera, formando una garganta en donde se encuentra el collar inicial.

Este teorema fue descubierto de forma independiente en Japón, en un Sangaku de la prefectura de Kanagawa de 1822.

En 1937, se publicaban [Nature 139, 62] unas cuantas estrofas más –debidas al abogado aficionado a las matemáticas Thorold Gosset–  generalizando el resultado de Soddy para esferas a espacios n-dimensionales –traducción extraída de [Martin Gardner, Circo Matemático, capítulo 3]–:

No debemos empero confinar nuestros cuidados
a los simples círculos, esferas y planos,
sino elevarnos a n-espacios e hipercurvaturas
donde también las múltiples tangencias son seguras.
En n-espacios, los pares de tangentes
son hiperesferas, y es verdad,
–mas no evidente–,
cuando n + 2 de tales se osculean
cada una con n + 1 compañeras
que el cuadrado de la suma de todas las curvaturas
es n veces la suma de sus cuadrados.

Frederick Soddy, un premiado pionero en radioactividad, crítico del sistema económico vigente y… poeta matemático.

Esta entrada participa en la XI Edición del Carnaval de Humanidades cuyo blog anfitrión es SCIENTIA y en la Edición XXXVII (Edición Rb) del Carnaval de Química cuyo blog anfitrión es Divulgacion ISQCH.