El teorema de Nicómaco

Hacia el año 100, el filósofo y matemático Nicómaco de Gerasa observó que:

1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = (1 + 2 + 3 + … + n)²

En efecto, este diagrama lo muestra de manera clara:

Si contamos los cuadrados individuales, tenemos en total –se cuenta desde el extremo superior izquierdo, y se va descendiendo y contando los cuadrados en cada zona coloreada de diferente tono–:

1 × 1² + 2 × 2² + 3 × 3² + 4 × 4² + 5 × 5² + 6 × 6² =

= 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³.

Pero, por otro lado, el área del cuadrado completo es claramente:

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)².

Así,  1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)².

Este argumento sigue siendo válido al cambiar 6 por un número natural n cualquiera.

Más información:

• Nicomachus’s Theorem, Wolfram MathWorld
• A visual proof of Nicomachus’s Theorem
• Loren Shure, Nicomachus’s Theorem, Matlab Central, 2010

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