El paradójico Hotel infinito de Hilbert

Érase una vez un hotel con infinitas habitaciones (en cantidad numerable, es decir, ordenadas según la sucesión 1, 2, 3, 4, 5, etc.), con el categórico lema:

Se garantiza el alojamiento a cualquier nuevo/a huésped.

«Benvenuti all’albergo infinito«, primer escenario de la obra de teatro «Infinities» de John Barrow.

Es temporada alta y el hotel está lleno. Llega un pasajero cansado, con ganas de alojarse… ¡El Hotel va a incumplir su desmedida consigna! ¿O no?

No… el eficaz recepcionista –Jack Torrance– sabe lo que debe hacer. Utiliza la megafonía del hotel para avisar a sus clientes/as:

Por favor, les rogamos que pasen de la habitación que ocupan –n– a la siguiente habitación –n+1–. Muchas gracias por su colaboración. 

Jack ha conseguido que la habitación número 1 quede libre, cumpliendo fielmente la promesa del hotel.

Al día siguiente el hotel sigue lleno, llueve a cántaros, y no pudiendo dormir en sus tiendas de campaña, llegan al hotel infinitos –en cantidad numerable– boy-scout. Jack sabe lo que tiene que hacer, y de nuevo utiliza la megafonía del hotel para solicitar:

Por favor, les rogamos que pasen de la habitación que ocupan –n– a habitación con número doble –2n–. Muchas gracias por su colaboración. 

Jack consigue así que todas las habitaciones impares queden libres, para alojar en ellas a los alborotados boy-scout.

«Benvenuti all’albergo infinito«, primer escenario de la obra de teatro «Infinities» de John Barrow.

Unos días más tarde, el hotel sigue lleno, y aprovechando una insuperable oferta de fin de semana, «aterrizan» en el hotel infinitas –en cantidad numerable– excursiones con infinitos/as –en cantidad numerable– pensionistas.

¡Esta vez Jack no lo va a conseguir!

No es así… Jack es un profesional y ni se inmuta. Envía un SMS sólo a las habitaciones con número primo –p– o alguna potencia de un número primo –p– con el siguiente mensaje:

Por favor, les rogamos que pasen de la habitación que ocupan –h– a la habitación numerada con su cuadrado –h²–. Muchas gracias por su colaboración. 

(En realidad el mensaje era: «Kmbia h x h^2. Gracias«, pero lo he traducido para que se entienda).

Así han quedado libres todas las habitaciones numeradas con potencias impares de primos.  Jack asigna entonces a cada una de las excursiones un número primo p –Jack sabe que lo puede  hacer porque hay infinitos números primos, es el Teorema de Euclides–  y a cada pensionista de cada excursión un número impar m –también hay infinitos de éstos–. Y adjudica al pensionista número m de la excursión número p la habitación p^m.

¡Jack es el mejor!

Los pensionistas pueden ir a descansar para prepararse para el guateque nocturno…