Edición 6.9 del Carnaval de Matemáticas: el conjunto de Cantor

Creo que a casi todas las personas que nos dedicamos a las matemáticas nos han preguntado en alguna ocasión quien es nuestra matemática o matemático ‘favorito’. No es fácil responder a esa pregunta, y creo que la respuesta puede variar dependiendo del momento.

Georg Cantor (1845-1918).

En mi caso, siempre me ha fascinado la figura de Georg Cantor; por un lado por su historia personal y, por otro lado, porque en mi trabajo de investigación el conjunto de Cantor ha estado siempre muy presente.

Siguiendo las indicaciones del ‘jefe’ al inaugurar la primera edición del sexto año del Carnaval de Matemáticas, la edición 6.9 se dedicará a un concepto matemático: el conjunto de Cantor.

Esta será la cuarta vez que ::ZTFNews –el blog de la Facultad de Ciencia y Tecnología de la UPV/EHU– alojará el Carnaval de Matemáticas. ¡Un honor, como siempre!

Como decía antes, George Cantor fue un genio, un adelantado a su época. Sus ideas revolucionarias en matemáticas chocaron, como suele suceder, contra la ‘ciencia oficial’ que se resistía a aceptar sus propuestas innovadoras.  La biografía Georg Cantor: his Mathematics and Phylosophy of the infinite (1990), escrita por Joseph Warren Dauben, es probablemente una de las mejores maneras de aprender sobre la vida del matemático. Recomiendo también la bellísima biografía novelada Villa del hommes (2007) de Denis Guedj, en la que se reconoce a Georg Cantor en la figura del viejo matemático Hans Singer, recluido en un manicomio.

El primer registro de ‘un’ conjunto de Cantor –en Curiosidades sobre el conjunto de Cantor (2001) pueden leerse muchos detalles acerca de él– apareció por primera vez en un artículo de 1875 del matemático H.J.S. Smith que daba, entre otras cosas, un método para construir un conjunto nada-denso.

El conjunto ternario de Cantor se construye de manera recursiva, pueden leerse los detalles en Curiosidades sobre el conjunto de Cantor o en otros muchos textos que tratan sobre el tema de manera extensa.

Primeros pasos en la construcción del conjunto ternario de Cantor.

Lo que si deseo destacar es un precioso teorema de topología en el que se ve la importancia de este ejemplo:

Todo espacio métrico, compacto, no vací­o, totalmente disconexo y sin puntos aislados es homeomorfo al conjunto ternario de Cantor.

Este teorema nos permite pensar en el conjunto de Cantor como un modelo (topológico) de los espacios métricos nombrados en el enunciado: cualquier propiedad topológica verificada por ‘el ternario’ la cumplirán también los espacios nombrados en el teorema.

Por si os parecía poco el resultado anterior, fijaos en esta otra proposición:

Todo espacio métrico compacto es imagen continua del conjunto de Cantor.

¡Extraordinario!

I. ¿Quién y cómo puede participar en la ‘edición 6.9: el conjunto de Cantor’ del Carnaval de Matemáticas?

• Puedes participar si escribes una entrada en tu blog, de contenido relacionado de alguna manera con las matemáticas;
• aunque no tengas blog, también puedes participar. Para ello, debes inscribirte previamente en la web del Carnaval de Matemáticas –es rápido y fácil– y escribir allí mismo tu entrada;
• lo hagas en tu propio blog o en el blog de Carnaval, debes indicar en tu artículo que se trata de una contribución a la  ‘edición 6.9: el conjunto de Cantor’ del Carnaval, colocando en algún lugar del post un enlace a la web del Carnaval de Matemáticas y otro al blog anfitrión; por ejemplo: Esta entrada participa en la ‘edición 6.9: el conjunto de Cantor‘ del Carnaval de Matemáticas, cuyo blog anfitrión es ::ZTFNews;
• para que nos enteremos de que participas en el Carnaval, por favor, debes avisarnos de alguna de estas maneras:
  • dejando un comentario en este mismo post,
  • enviando un correo a marta.macho@gmail.com, o
  • escribiendo un tuit con la etiqueta #CarnaMat69, mencionando a la cuenta @MartaMachoS y a la del carnaval @CarnaMat.

II. ¿Cuáles son las fechas para participar en la ‘edición 6.9: el conjunto de Cantor’ del Carnaval de Matemáticas?

Para participar en el Carnaval, deberás realizar la entrada en tu blog entre los días 17 y 23 de diciembre (ambos inclusive).

Entre los días 24 y 25 de diciembre publicaremos un resumen con todas las entradas que se hayan presentado a esta edición del Carnaval y a partir de ese momento se abrirá el plazo para votar a tu entrada favorita.

III. Para terminar os dejamos los enlaces a los resúmenes de todas las ediciones anteriores del Carnaval de Matemáticas:

• Primer Año
  
  • Primera Edición (15/02/2010) en Tito Eliatron Dixit
  • Segunda Edición (15/03/2010) en Juan Mairena [v.2.71828]
  • Tercera Edición (19/04/2010) en Geometría Dinámica
  • Cuarta Edición (17/05/2010) en Zurditorium
  • Quinta Edición (21/06/2010) en Ciencia por Barcedavid
  • Sexta Edición (27/09/2010) en Blog de Sangakoo
  • Séptima Edición (25/10/2010) en El Máquina de Turing
  • Octava Edición (21/11/2010) en Los Matemáticos no son Gente Seria
  • Novena Edición (20/12/2010) en Rescoldos en la Trébede
  • Décima Edición (31/01/2011) en La Ciencia de la Mula Francis
• Segundo año
  • Edición 2.1 (21/02/2011) en Tito Eliatron Dixit
  • Edición 2.2 (28/03/2011) en Gaussianos
  • Edición 2.3 (24/04/2011) en Los matemáticos no son gente seria
  • Edición 2.4 (26/05/2011) en Seis Palabras Claras
  • Edición 2.5 (02/07/2011) en Juegos Topológicos
  • Edición 2.6 (26/09/2011) en La Vaca Esférica
  • Edición 2.7 (15/10/2011) en La Aventura de la Ciencia
  • Edición 2.8 (29/11/2011) en Ciencia Conjunta
  • Edición 2.9 (26/12/2011) en Que no te aburran las M@tes
  • Edición 2.X (30/01/2012) en Resistencia Numantina
• Tercer año
  • Edición 3.1 (28/02/2012) en Scientia Potentia Est
  • Edición 3.14 (26/03/2012) en Hablando de Ciencia
  • Edición 3.141 (04/05/2012) en DesEquiLIBROS
  • Edición 3.1415 (29/05/2012) en Gaussianos
  • Edición 3.14159 (29/06/2012) en Scientia
  • Edición 3.141592 (01/10/2012) en ::ZTFNews
  • Edición 3.1415926 (29/10/2012) en Series Divergentes
  • Edición 3.14159265 (02/12/2012) en Pimedios
  • Edición 3.141592653 (27/12/2012) en Que no te aburran las M@tes
  • Edición 3.1415926535 (30/01/2013) en La Aventura de la Ciencia
• Cuarto año
  • Edición 4.1 (26/02/2013) en Tito Eliatron Dixit
  • Edición 4.12 (24/03/2013) en High Ability Dimension
  • Edicón 4.123 (01/05/2013) en Eulerianos
  • Edición 4.1231 (27/05/2013) en Matemáticas interactivas y Manipulativas
  • Edición 4.12310 (28/06/2013) en Geometría Dinámica
  • Edición 4.123105 (30/09/2013) en Cifras y Teclas
  • Edición 4.1231056 (02/11/2013) en Scientia
  • Edición 4.12310562 (29/11/2013) en ZTFNews.org
  • Edición 4.123105262 (02/01/2014) en Que no te aburran las M@TES
  • Edición 4.1231056216 (06/02/2014) en Cuentos Cuánticos
•  Quinto Año
  • Edición 5.1 Rey Pastor (04/03/2014) en Tito Eliatron Dixit
  • Edición 5.2 Emmy Noether (31/03/2014) en MatesdeDavid
  • Edición 5.3 Felix Klein (27/04/2014) en Juegos Topológicos
  • Edición 5.4 Martin Gardner (06/06/2014) en Gaussianos
  • Edición 5.5 Ronald Fisher (29/06/2014) en Pi medios
  • Edición 5.6 Paul Erdos (24/09/2014) en Cifras y Teclas
  • Edición 5.7 Alan Turing (30/10/2014) en  El zombi de Schrödinger
  • Edición 5.8 Betty Scott (08/12/2014) en Tocamates
  • Edición 5.9 Enma Castelnuovo (29/12/2014) en Que no te aburran las M@TES
  • Edición 5.X Sofia Koalevskaya (28/01/2015) en ZTFNews.org
• Sexto Año
  • Edición 6.1 Números Perfectos (02/03/2015) en Tito Eliatron Dixit
  • Edición 6.2 Número Pi (03/04/2015) en La Aventura de la Ciencia
  • Edición 6.3 Teorema de Pitágoras (14/04/2015) en El mundo de Rafalillo
  • Edición 6.4 Pseudoprimos (01/05/2015) en Pimedios
  • Edición 6.5 Primos de Mersenne (18/06/2015) en el Blog del Dpto. de Álgebra de la Universidad de Sevilla
  • Edición 6.6: Números vampiro  (07/09/2015) en Scire Science
  • Edición 6.7: El punto (12/10/2015) en Matifutbol
  • Edición 6.8: El punto (07/12/2015) en Gaussianos

¡Animaos a participar!