Mueve, gira, mueve, mueve, gira…

Cada casilla de una cuadrícula 8 × 8 contiene una flecha que apunta hacia arriba, abajo, izquierda o derecha. Hay una salida en el borde superior de la casilla superior derecha. Comienza la partida en la casilla inferior izquierda. En cada turno debes moverte a la casilla indicada por la dirección de la flecha; en ese momento la casilla de la que has salido gira 90 grados en el sentido de las agujas del reloj. Si no puedes moverte porque el borde de la cuadrícula no te permite seguir tu camino, debes quedarte en la casilla que ocupas, girarla 90 grados en el sentido de las agujas del reloj y continuar.

Cada una de las casillas contiene alguna de estas flechas

Demuestra que en algún momento alcanzarás la salida.

Un ejemplo de partida. La pregunta planteada se refiere a cualquier partida posible

Solución (por favor, piensa un poquito antes de leerla):

Lo haremos por reducción al absurdo. Supongamos que no puedes salir de la cuadrícula. Como sólo hay 64 –un número finito– cuadrados, se deduce que vas a entrar en al menos una casilla un número infinito de veces. Pero una casilla gira después de cada visita, por lo tanto también entrarás en todas las casillas adyacentes una cantidad infinita de veces.

Se puede extender este argumento, y se deduce que entrarás en cada una de las casillas de la cuadrícula un número infinito de veces. En particular, lo harás en la casilla de la esquina superior derecha, que en algún momento va a señalar la salida, en contra de la hipótesis. CQD

Visto en Futility Closet (es un problema de la Olimpiada Matemática 1999)