¡La mía es la más larga!

Por supuesto, me refiero a una corbata…

Os quiero hablar de la paradoja de la corbata, propuesta en 1930 por el matemático Maurice Kraitchik (1882-1957).

Pedro y Raúl tienen una preciosa corbata matemática para ocasiones especiales. Pedro propone a Raúl el siguiente juego: aquel que tenga la corbata más larga se la regala al otro. Raúl –que sabe que Pedro es un tanto «embaucador»– razona de la siguiente manera:

Mi corbata mide R centímetros. Hay una posibilidad sobre dos de que mi corbata sea más larga que la de Pedro, es decir, hay un 50% de posibilidades de perder mi corbata de longitud R. En caso contrario, ganaré la corbata de Pedro que mide P y es más larga que la mía. Así, en el 50% de los casos pierdo R y en el 50% de los casos gano más que R.  La ganancia media es positiva, así que jugaré con Pedro.

El juego es simétrico, así que Pedro puede hacer exactamente el mismo razonamiento para concluir que el juego le es favorable.

Pero esto es paradójico… Debe de haber algún error en el razonamiento.

En efecto, el razonamiento se realiza en un caso ideal que puede no existir:

1. supone que todas las longitudes posibles e imaginables de corbatas tienen la misma probabilidad de existir,
2. conjetura que dada una longitud cualquiera L, la mitad de las corbatas es de longitud mayor y la otra mitad es de longitud menor…

Es decir, el error viene de aplicar el principio de indiferencia… Para jugar a este juego, habría que dar una probabilidad a cada longitud de corbata previsible: por ejemplo, si P es igual a un metro… la probabilidad de encontrar corbatas más largas que un metro seguro que es menor que la de topar con una más corta…

BONUS: Maurice Kraitchik es el inventor de la paradoja de los dos sobres (1953). Se le debe además una fórmula para calcular el día de la semana de una fecha cualquiera en el calendario gregoriano:

Si d es el día, m el mes –excepto para enero y febrero que se consideran respectivamente como los meses 13 y 14 del año anterior– y a el año, entonces el día de la semana es igual al resto de la división por 7 de k donde:

k = d + 2m + [3(m + 1)/5] + a + [a/4] – [a/100] + [a/400] + 2

siendo [x] la parte entera de x y siendo el sábado el 0, el domingo el 1, etc.

Por ejemplo,

• el 6  de julio de 1990 era viernes, ya que, d=6, m=7 y a=1990, así:

k = 6 + 14 + [24/5] + 1990 + [1990/4] – [1990/100] + [1990/400] + 2 = 6 + 14 + 4 + 1990 + 497 – 19 + 4 + 2 = 2498,

y el resto de la división de 2498 por 7 es 6.

• el 15 de enero de 1992 fue miércoles, ya que d=15, m=13 y a=1991 –recordar que enero es el mes 13 del año anterior 1991–, así:

k = 15 + 26 + [42/5] + 1991 + [1991/4] – [1991/100] + [1991/400] + 2 = 15 + 26 + 8 + 1991 + 497 – 19 + 4 + 2 = 2524,

y el resto de la división de 2524 por 7 es 4.