El teorema de Phragmén–Brouwer

El teorema de Phragmén–Brouwer debe su nombre a los matemáticos Lars Edvard Phragmén y Luitzen Egbertus Jan Brouwer.

Dice lo siguiente:

Si X es un espacio topológico normal, conexo y localmente conexo, son equivalentes las dos condiciones siguientes:

1. Si A y B son subconjuntos cerrados y disjuntos cuya unión es separa X, entonces uno de los dos conjuntos es separa X.
2. X is unicoherente, es decir, si X es la unión de dos subconjuntos cerrados y conexos, entonces su intersección es conexa o vacía.

El teorema sigue siendo cierto con la condición más débil de que A y B estén separados (A no corta a la clausura de B y B no corta a la clausura de A).

He elegido este bonito teorema topológico porque Lars Edvard Phragmén (1863-1937) nació un 2 de septiembre.

Este teorema, que se aplica por ejemplo en teoría de superficies, no es probablemente su resultado más conocido. Seguramente lo es el principio de Phragmén–Lindelöf, una extension de Lars Edvard Phragmén y Ernst Leonard Lindelöf del principio del módulo máximo del análisis complejo a dominios no acotados [Lars Edvard Phragmén and Ernst Lindelöf,  Sur une extension d’un principe classique de l’analyse et sur quelques propriétés des fonctions monogènes dans le voisinage d’un point singulier, Acta Math. 31 (1): 381–406, 1908].

Phragmén es también famoso por haber señalado una parte poco clara de un preprint de Henri Poincaré sobre el problema de los tres cuerpos, lo que permitió a Poincaré solucionar un grave error en sus razonamientos.